Лемма Ван дер Корпута с функциями Бесселя

Аннотация

В данной статье мы изучаем аналоги лемму Ван дер Корпута [19] с функциями Бесселя. В гармоническом анализе одной из важнейших оценок является лемма Ван дер Корпута, которая является оценкой осциллирующих интегралов. Эта оценка впервые была получена голландским математиком Йоханнесом Голтерусом ван дер Корпутом. Ван дер Корпут интересовался поведением при больших положительных λ осциллирующего интеграла R b a e iλφ(x)ψ(x)dx,, где φ - вещественная гладкая функция (фаза), а ψ - комплексная гладкая функция (амплитуда). В случае a = −∞, b = +∞ предполагается, что ψ имеет компактный носитель в R. В нашем случае показательная функция заменяется функциями Бесселя, чтобы изучить осциллирующие интегралы, возникающие при анализе волнового уравнения с сингулярным затуханием. В частности, мы изучаем интеграл вида I(λ) = R b a Jn(λφ(x))ψ(x)dx для диапазона n = 0 , где ψ ∈ C и гладкие, а λ - положительное действительное число, которое может меняться. Доказаны обобщения леммы Ван дер Корпута. В качестве приложения полученных результатов рассматривается обобщенная лемма Римана-Лебега.

Литература

[1] J.G. van der Corput, Zahlentheoretische Absch¨atzungen, Math. Ann. 84: 1-2 (1921) 53–79.
[2] E.M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals.// Princeton
Mathematical Series. Vol. 43. Princeton Univ. Press, Princeton, 1993.
[3] E. M. Stein, S. Wainger.The estimation of an integral arising in multiplier transformations, Studia Math. 35 (1970) 101–104.
[4] D. H. Phong, E. M. Stein,,Operator versions of the van der Corput lemma and Fourier integral operators, Math. Res. Lett. 1 (1994),27–33.
[5] D. H. Phong, E. M. Stein,,Models of degenerate Fourier integral operators and Radon transforms, Ann. Math. 140:3 (1994), 703–722.
[6] A. Carbery, M. Christ, J. Wright,,Multidimensional van der Corput and sublevel set estimates, J. Amer. Math. Soc. (1999) 981–1015.
[7] M. Christ, X. Li, T. Tao, C. Thiele. . On multilinear oscillatory integrals, nonsingular and singula, Duke Math. J. , 130:2 (2005), 321–351.
[8] J. Bourgain, L. Guth. Bounds on oscillatory integral operators based on multilinear estimate, Geom. Funct. Anal. 2 1:6 (2011), 1239–1295.
[9] M. Ruzhansky,,Multidimensional decay in the van der Corput lemma, Studia Math. 208 (2012) 1–10
62 Van der Corput lemmas with Bessel functions . . .
[10] M. Greenblatt. Sharp estimates for one-dimensional oscillatory integral operators with phase. Amer. J. Math. 127:3 (2005), 659–695.
[11] K. M. Rogers, Sharp van der Corput estimates and minimal divided differences, Proc. Amer. Math. Soc. 133: 12 (2005) 3543–3550.
[12] I. R. Parissis. . A sharp bound for the Stein-Wainger oscillatory integral, Proc. Amer. Math. Soc. 136:3 (2008), 963–972.
[13] R. Chen, G. Yang, J., Numerical evaluation of highly oscillatory Bessel transforms, Comput. Appl. Math. , 342(2018), 16-24.
[14] S. Xiang, J. Comput.,On van der Corput-type lemmas for Bessel and Airy transforms and applications., Appl. Math. 351 (2019) 179-185.
[15] M. Ruzhansky and B.T.Torebek ArXiv, Van der Corput lemmas for Mittag-Leffler functions, 2020, 1-32, arXiv:2002.07492.
[16] M. Ruzhansky and B.T.Torebek ArXiv, Van der Corput lemmas for Mittag-Leffler functions, II, α − directions, 2020, 1 −19, arXiv : 2005.04546.
[17] S. Zaman, S., Siraj-ul-Islam, I. Hussain., J. Comput., Approximation of highly oscillatory integrals containing special functions., Appl. Math. 2020, 365, 112372
[18] M. Ruzhansky and B.T. Torebek, Fractional Calculus and Applied Analysis,23(6), (2020).
[19] N.N. Lebedev., Special functions and their applications, 2nd rev.ed., Fiz-matgiz, Moscow, 1963; Englis h transl., PrenticeHall , Englewood Cliffs, N.J., 1965.
[20] G.N. Watson. A treatise on the theory of Bessel functions, FOREIGN LITERATURE PUBLISHING, Moscow (1945), p.72.
Как цитировать
BEISENBAY, A.. Лемма Ван дер Корпута с функциями Бесселя. Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, [S.l.], v. 114, n. 2, june 2022. ISSN 2617-4871. Доступно на: <https://bm.kaznu.kz/index.php/kaznu/article/view/1022>. Дата доступа: 08 aug. 2022 doi: https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v114.i2.03.
Ключевые слова лемма Ван дер Корпута, функция Бесселя, асимптотическая оценка, волновое уравнение, осциллирующие интегралы