Схемы метода конечных элементов повышенной точности для решения нестационарных уравнений четвертого порядка

Аннотация

Уравнения Соболевского типа высокого порядка являются математическими моделями мно- гих прикладных задач. Как известно, во многих случаях получить аналитические решения уравнений высокого порядка затруднительно, поэтому, они в основном решаются численны- ми методами. В последнее время для решения нестационарных задач математической фи- зики часто применяют метод прямых, в котором дискретизация сначала проводится только по пространственным переменным, а полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности решается методами конечных разностей или конечных эле- ментов повышенной точности. В данной работе для системы обыкновенных дифференциаль- ных уравнений четвертого порядка построены и исследованы новые многопараметрические разностные схемы повышенной точности на основе метода конечных элементов. Наличие па- раметров в схеме позволяет произвести регуляризацию схем с целью оптимизации алгоритма реализации и точности схемы. Также доказаны устойчивость и сходимость построенных раз- ностных схем и на их основе получены оценки точности. Приведен алгоритм реализации построенных разностных схем. Полученные результаты могут найти дальнейшее примене- ние при численном решений начально-краевых задач для уравнений динамики сжимаемой стратифицированной вращающейся жидкости, магнитной газовой динамики, ионно-звуковых волн в замагниченной плазме, спиновых волн в магнетиках, холодной плазмы во внешнем магнитном поле и т.п.