Numerical solution of a source identification problem by Fourier method
Abstract
A source identification problem for heat transfer equation in the case of given final observation data is considered. The source density has the form f(x)g(t), where the function g(t) is given, and the function f(x) is to be determined. The necessary condition of the minimum of the residual functional, which of consists of related direct and adjoint problem, is written. The analytical representation of the solution in the form of Fourier series is obtained. Then the series are calculated numerically. In several cases depending on the behavior of the function g(t) a recovery of the unknown solution have been obtained with machine accuracy. Discontinuous and oscillating functions are recovered with sufficiently accuracy as well.References
[1] Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена.-М.: Машиностроение, 1988.- 280 c.
[2] Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. - М.: Мир, 1989. - 309 c.
[3] Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.- М.:Мир,1972. - 416 c.
[4] Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессом
теплопроводности. //Жур. вычис. матем. и матем. физики.- 1972- Т.12, №3,- С. 791-799.
[5] Hasanov A., Simultaneous determination of source terms i n a linear parabolic problem from the final overdetermination: weak solution approach // J Math. Anal. Appl.- 2007,v. 330. - Р. 766-779.
[6] Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник, 1963 - Т.61.- №2. - C. 211-223.
[7] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука,1974. - 142 с.
[8] Jingzhi Li, Jianli Xie and Jun Zou. An adaptive finite element reconstruction of distributed fluxes.// Inverse Problems, 2011.- Vol. 27, - P. 1-25.
[9] Xie J and Zou J 2005 Numerical reconstruction of heat fluxes// SIAM J. Numer. Anal. - Vol. 43, - P. 1504-1535.
[10] Zabaras N and Liu J, An analysis of two-dimensional linear inverse heat transfer problems using an integral method //Heat Transfer, 1988.- Vol. 13, - P. 527-33.
[11] А А Самарский, П.Н. Вабищевич, В. И. Васильев. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Математическое моделирование, 1997 . - Т. 5, № 5, - C. 119-127.
[12] П.Н. Вабищевич. Численное решение задачи идентификации правой части параболического уравнения.// Известия вузов, 2003.- Т. 488, №1- С.30-37.
[13] A.Hasanov, P.Duchateau and B. Pektas. An adjoint problem approach and coarse-fine
mesh method for identification of the diffusion coefficient in a linear parabolic equation. Journal of Inverse and Ill-posed Problems.// 2011,- Vol. 14, Iss.5 - P. 435-463.
[14] Alemdar Hasanov, Muhtarbay Otelbaev and Bakytzhan Akpayev, Inverse heat conduction
problems with boundary and final time measured output data // Inverse Problems in Science and Engineering, 2011. - Vol. 19, № 7 - P. 985-1006.
[15] Л.С.Понтрягин. В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука,1983. - 393 с.
[16] Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач // Изд-во Московского университета. - 1974. - 374 с.
[17] Б.Д. Тажибаев, Об условиях оптимальности в одной задаче управления.// Управляемые системы.- Новосибирск, 1988 - вып. 28, - С. 65 - 78.
[18] Б.Д. Тажибаев, Задачи оптимального управления для параболических уравнений:
Канд. диссертация: 01.01.02 // Новосиб. ун-т, 1990 - 80 с.
[19] В. С. Белоносов, Внутренние оценки решений квазипараболических систем. //Сиб. матем. журн,1996. - Т. 37, №1 - С.20-35.
[20] Калиев И.А., Сабитова М.М. Задачи определения температуры и плотности источников тепла по начальной и конечной температурам // Сибирский журнал индустриальной математики.- 2009.- Т.12, № 1.- С. 89-97.
[21] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.:Наука, 1967, - 736 c.
[2] Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. - М.: Мир, 1989. - 309 c.
[3] Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.- М.:Мир,1972. - 416 c.
[4] Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессом
теплопроводности. //Жур. вычис. матем. и матем. физики.- 1972- Т.12, №3,- С. 791-799.
[5] Hasanov A., Simultaneous determination of source terms i n a linear parabolic problem from the final overdetermination: weak solution approach // J Math. Anal. Appl.- 2007,v. 330. - Р. 766-779.
[6] Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник, 1963 - Т.61.- №2. - C. 211-223.
[7] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука,1974. - 142 с.
[8] Jingzhi Li, Jianli Xie and Jun Zou. An adaptive finite element reconstruction of distributed fluxes.// Inverse Problems, 2011.- Vol. 27, - P. 1-25.
[9] Xie J and Zou J 2005 Numerical reconstruction of heat fluxes// SIAM J. Numer. Anal. - Vol. 43, - P. 1504-1535.
[10] Zabaras N and Liu J, An analysis of two-dimensional linear inverse heat transfer problems using an integral method //Heat Transfer, 1988.- Vol. 13, - P. 527-33.
[11] А А Самарский, П.Н. Вабищевич, В. И. Васильев. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Математическое моделирование, 1997 . - Т. 5, № 5, - C. 119-127.
[12] П.Н. Вабищевич. Численное решение задачи идентификации правой части параболического уравнения.// Известия вузов, 2003.- Т. 488, №1- С.30-37.
[13] A.Hasanov, P.Duchateau and B. Pektas. An adjoint problem approach and coarse-fine
mesh method for identification of the diffusion coefficient in a linear parabolic equation. Journal of Inverse and Ill-posed Problems.// 2011,- Vol. 14, Iss.5 - P. 435-463.
[14] Alemdar Hasanov, Muhtarbay Otelbaev and Bakytzhan Akpayev, Inverse heat conduction
problems with boundary and final time measured output data // Inverse Problems in Science and Engineering, 2011. - Vol. 19, № 7 - P. 985-1006.
[15] Л.С.Понтрягин. В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука,1983. - 393 с.
[16] Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач // Изд-во Московского университета. - 1974. - 374 с.
[17] Б.Д. Тажибаев, Об условиях оптимальности в одной задаче управления.// Управляемые системы.- Новосибирск, 1988 - вып. 28, - С. 65 - 78.
[18] Б.Д. Тажибаев, Задачи оптимального управления для параболических уравнений:
Канд. диссертация: 01.01.02 // Новосиб. ун-т, 1990 - 80 с.
[19] В. С. Белоносов, Внутренние оценки решений квазипараболических систем. //Сиб. матем. журн,1996. - Т. 37, №1 - С.20-35.
[20] Калиев И.А., Сабитова М.М. Задачи определения температуры и плотности источников тепла по начальной и конечной температурам // Сибирский журнал индустриальной математики.- 2009.- Т.12, № 1.- С. 89-97.
[21] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.:Наука, 1967, - 736 c.
Downloads
Issue
Section
Mathematics
