Численное решение обратной задачи идентификации источника методом Фурье. Жылу көздi табу керi есебiн Фурье амалымен сандық түрде шешу.
Аннотация
Рассматривается обратная задача идентификации функции источника для уравнения теплопроводности по финальным измерениям температуры. Предполагается, что плотность источников имеет вид произведения f(x)g(t), где функция f(x) неизвестна. Записано необходимое условие минимума функционала невязки в виде системы уравнений, состоящей из прямой и сопряженной задач. Методом Фурье получены аналитические формулы в виде рядов. Эти ряды реализованы численно. В зависимости от характера функции g(t), в ряде примеров удалось восстановить функции источника с точностью, близкой к компьютерной. Быстро осциллирующие и разрывные функции также восстанавливались с удовлетворительной точностью. Жылу өткiзгiш теңдеуi үшiн соңғы уақыттағы өлшемдер арқылы жылу көздерiн анықтауға арналған керi есеп қарастырылған. Жылу көздерiнiң тығыздығы f(x)g(t) түрде қабылданған, және f(x) функциясы белгiсiз. Қате функционалының қажеттi минимум шарты тура және түйiндес есептерден тұратын жүйе арқылы жазылған. Фурье амалы негiзiнде қатар түрдегi аналитикалық шешiмдер алынған. Бұл қатарлар сандық түрде жуықтап есептелген. Есептеу нәтижесi g(t) функцияның түрiне тәуелдi және кейбiр жағдайларда компьютерлiк дәлдiкпен есептелген. Жылдам осцилляциялық және секiрмелi функциялар да қанағаттандырарлық дәлдiкпен табылған.Библиографиялық сілтемелер
[1] Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена.-М.: Машиностроение, 1988.- 280 c.
[2] Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. - М.: Мир, 1989. - 309 c.
[3] Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.- М.:Мир,1972. - 416 c.
[4] Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессом
теплопроводности. //Жур. вычис. матем. и матем. физики.- 1972- Т.12, №3,- С. 791-799.
[5] Hasanov A., Simultaneous determination of source terms i n a linear parabolic problem from the final overdetermination: weak solution approach // J Math. Anal. Appl.- 2007,v. 330. - Р. 766-779.
[6] Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник, 1963 - Т.61.- №2. - C. 211-223.
[7] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука,1974. - 142 с.
[8] Jingzhi Li, Jianli Xie and Jun Zou. An adaptive finite element reconstruction of distributed fluxes.// Inverse Problems, 2011.- Vol. 27, - P. 1-25.
[9] Xie J and Zou J 2005 Numerical reconstruction of heat fluxes// SIAM J. Numer. Anal. - Vol. 43, - P. 1504-1535.
[10] Zabaras N and Liu J, An analysis of two-dimensional linear inverse heat transfer problems using an integral method //Heat Transfer, 1988.- Vol. 13, - P. 527-33.
[11] А А Самарский, П.Н. Вабищевич, В. И. Васильев. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Математическое моделирование, 1997 . - Т. 5, № 5, - C. 119-127.
[12] П.Н. Вабищевич. Численное решение задачи идентификации правой части параболического уравнения.// Известия вузов, 2003.- Т. 488, №1- С.30-37.
[13] A.Hasanov, P.Duchateau and B. Pektas. An adjoint problem approach and coarse-fine
mesh method for identification of the diffusion coefficient in a linear parabolic equation. Journal of Inverse and Ill-posed Problems.// 2011,- Vol. 14, Iss.5 - P. 435-463.
[14] Alemdar Hasanov, Muhtarbay Otelbaev and Bakytzhan Akpayev, Inverse heat conduction
problems with boundary and final time measured output data // Inverse Problems in Science and Engineering, 2011. - Vol. 19, № 7 - P. 985-1006.
[15] Л.С.Понтрягин. В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука,1983. - 393 с.
[16] Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач // Изд-во Московского университета. - 1974. - 374 с.
[17] Б.Д. Тажибаев, Об условиях оптимальности в одной задаче управления.// Управляемые системы.- Новосибирск, 1988 - вып. 28, - С. 65 - 78.
[18] Б.Д. Тажибаев, Задачи оптимального управления для параболических уравнений:
Канд. диссертация: 01.01.02 // Новосиб. ун-т, 1990 - 80 с.
[19] В. С. Белоносов, Внутренние оценки решений квазипараболических систем. //Сиб. матем. журн,1996. - Т. 37, №1 - С.20-35.
[20] Калиев И.А., Сабитова М.М. Задачи определения температуры и плотности источников тепла по начальной и конечной температурам // Сибирский журнал индустриальной математики.- 2009.- Т.12, № 1.- С. 89-97.
[21] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.:Наука, 1967, - 736 c.
[2] Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. - М.: Мир, 1989. - 309 c.
[3] Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.- М.:Мир,1972. - 416 c.
[4] Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессом
теплопроводности. //Жур. вычис. матем. и матем. физики.- 1972- Т.12, №3,- С. 791-799.
[5] Hasanov A., Simultaneous determination of source terms i n a linear parabolic problem from the final overdetermination: weak solution approach // J Math. Anal. Appl.- 2007,v. 330. - Р. 766-779.
[6] Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник, 1963 - Т.61.- №2. - C. 211-223.
[7] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука,1974. - 142 с.
[8] Jingzhi Li, Jianli Xie and Jun Zou. An adaptive finite element reconstruction of distributed fluxes.// Inverse Problems, 2011.- Vol. 27, - P. 1-25.
[9] Xie J and Zou J 2005 Numerical reconstruction of heat fluxes// SIAM J. Numer. Anal. - Vol. 43, - P. 1504-1535.
[10] Zabaras N and Liu J, An analysis of two-dimensional linear inverse heat transfer problems using an integral method //Heat Transfer, 1988.- Vol. 13, - P. 527-33.
[11] А А Самарский, П.Н. Вабищевич, В. И. Васильев. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Математическое моделирование, 1997 . - Т. 5, № 5, - C. 119-127.
[12] П.Н. Вабищевич. Численное решение задачи идентификации правой части параболического уравнения.// Известия вузов, 2003.- Т. 488, №1- С.30-37.
[13] A.Hasanov, P.Duchateau and B. Pektas. An adjoint problem approach and coarse-fine
mesh method for identification of the diffusion coefficient in a linear parabolic equation. Journal of Inverse and Ill-posed Problems.// 2011,- Vol. 14, Iss.5 - P. 435-463.
[14] Alemdar Hasanov, Muhtarbay Otelbaev and Bakytzhan Akpayev, Inverse heat conduction
problems with boundary and final time measured output data // Inverse Problems in Science and Engineering, 2011. - Vol. 19, № 7 - P. 985-1006.
[15] Л.С.Понтрягин. В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука,1983. - 393 с.
[16] Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач // Изд-во Московского университета. - 1974. - 374 с.
[17] Б.Д. Тажибаев, Об условиях оптимальности в одной задаче управления.// Управляемые системы.- Новосибирск, 1988 - вып. 28, - С. 65 - 78.
[18] Б.Д. Тажибаев, Задачи оптимального управления для параболических уравнений:
Канд. диссертация: 01.01.02 // Новосиб. ун-т, 1990 - 80 с.
[19] В. С. Белоносов, Внутренние оценки решений квазипараболических систем. //Сиб. матем. журн,1996. - Т. 37, №1 - С.20-35.
[20] Калиев И.А., Сабитова М.М. Задачи определения температуры и плотности источников тепла по начальной и конечной температурам // Сибирский журнал индустриальной математики.- 2009.- Т.12, № 1.- С. 89-97.
[21] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.:Наука, 1967, - 736 c.
Жүктелулер
Шығарылым
Бөлім
Математика
