Условие разрешимости краевой задачи и бифуркация ее решения

  • O. M. Stanzhytskyi Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, Украина http://orcid.org/0000-0002-1456-729X
  • T. V. Shovkoplyas Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, Украина http://orcid.org/0000-0002-4855-9925
Ключевые слова: краевая задача с возмущением, порождающая краевая задача, критерий разрешимости, критический случай, бифуркация решения, алгебраическая система

Аннотация

В предлагаемой статье для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, коэффициенты которого действительны, непрерывны и непрерывно дифференцируемы на отрезке, изучается вопрос разрешимости линейной неоднородной краевой задачи с возмущениям. Известно, что рассматриваемая в статье краевая задача не всегда разрешима, при условии, что порождающая ее краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, не имеет решений при произвольных неоднородностях. Установлена взаимосвязь между рассматриваемой линейной неоднородной краевой задачей с возмущением для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и алгебраической системой. Коэффициенты алгебраической системы состоят из коэффициентов линейной неоднородной краевой задачи с возмущением для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. На основе взаимосвязи между рассматриваемой краевой задачей и алгебраической системой найдено условие разрешимости линейной неоднородной краевой задачи с возмущением для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказалось, что при выполнении этого условия разрешимости существует хотя бы одно решение линейной неоднородной краевой задачи с возмущением для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющее вид частичной суммы сходящегося ряда Лорана.

Литература

[1] S.M. Chuiko and I.A. Boichuk, "Autonomous Noetherian boundary-value problem in the critical case", Nonlin. Oscillat. 12:3(2009), 417–428.
[2] A.A. Boichuk, S.M. Chujko, "Autonomous weakly nonlinear boundary value problems", Differ. Equ. 28:10(1992), 1353–1358.
[3] Chuiko S.M., "Domain of convergence of an iterative procedure for an autonomous boundary-value problem", Nonlin. Oscillat. 9:3(2006), 405–422. DOI: https://doi.org/10.1007/s11072-006-0053-y
[4] Chuiko S.M., Boichuk I.A. & Pirus O.E., "On the approximate solution of an autonomous boundary-value problem by the Newton–Kantorovich method", J. Math. Sci. 189:5(2013), 867–881. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-013-1225-9
[5] Chuiko S. M., Starkova O. V., "Avtonomnye kraevye zadachi v chastnom kriticheskom sluchae [Autonomous boundary value problems in a particular critical case]", Dynamic systems 27(2009), 127–142. [in Russian].
[6] Boichuk A. A., Konstruktivnye metody analiza kraevyh zadach [Constructive methods of analysis of boundary value problems] (K.: Scientific.thought, 1990) [in Russian].
[7] A. A. Boichuk, V. F. Zhuravlev and A. M. Samoilenko, Obobshchenno-obratnye operatory i neterovy kraevye zadachi [Generalized inverse operators and Noether boundary-value problem] (Kiyv: Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 1995) [in Russian].
[8] Chuiko S.M., "Bifurcation of solutions of a linear Fredholm boundary-value problem", Ukr. Math. J. 59:8(2007), 1274–1279. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-007-0087-z
[9] Boichuk A.A., Samoilenko A.M., Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems (Utrecht, Boston: VPS. 2004).
[10] Stanzhitskii A.N., Mynbayeva S.T. & Marchuk N.A., "Averaging in Boundary-Value Problems for Systems of Differential and Integrodifferential Equations", Ukr. Math. J. 72:2(2020), 277–301. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-020-01781-2
[11] A.A. Boichuk, L.M. Shegda, "Bifurcation of Solutions of Singular Fredholm Boundary Value Problems", Differ. Equ. 47:4(2011), 453–461. DOI: https://doi.org/10.1134/S001226611104001X
[12] Shovkoplyas T.V., "Dostatochnye usloviya vozniknoveniya resheniya slabovozmushchennoj kraevoj zadachi [Sufficient conditions for the emergence of a solution to a weakly confused boundary value problem]", Dynamical systems 27(2009), 143–149 [in
Ukrainian].
[13] Shovkoplyas T.V., "Slabovozmushchennye linejnye kraevye zadachi dlya sistem differencial’nyh uravnenij vtorogo poryadka [Weakly confused linear boundary value problems for systems of second-order differential equations]", (Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 4(2002), 31–36) [in Russian].
[14] Shovkoplyas T.S., "A criterion for the solvability of A linear boundary-value problem for A system of the second order", Ukr. Math. J. 52:6(2000), 987–991. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02591795
[15] Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A., Matricy i vychisleniya [Matrices and computations] (M.: Science, 1984) [in Russian].
[16] Shovkoplyas T.V., "Dostatochnye usloviya bifurkacii resheniya impul’snoj kraevoj zadachi s vozmushcheniem [Sufficient bifurcation conditions for the solution of a pulsed boundary value problem with perturbation]", Dynamical Systems 28(2010), 141–152 [in Ukrainian].
[17] M.I. Vishik, L.A. Lyusternik, "The solution of some perturbation problems for matrices and selfadjoint or non-selfadjoint differential equations. I", Russian Math. Surveys 15:3(1960), 1–73.
Опубликован
2020-12-30