Несекториальный оператор Штурма–Лиувилля с дискретным спектром

  • Kh. K. Ishkin Башкирский государственный университет, г. Уфа, Россия http://orcid.org/0000-0002-4943-9079
  • R. I. Marvanov Башкирский государственный университет, г. Уфа, Россия
Ключевые слова: спектральная неустойчивость, локализация спектра, уравнение Штурма– Лиувилля, тривиальная монодромия

Аннотация

Впервые уравнения Штурма-Лиувилля с комплексным потенциалом изучал М.А. Наймарк. М.А. Наймарку удалось найти достаточные условия на комплексный потенциал, когда соответствующий оператор Штурма-Лиувилля на полуоси имеет дискретный спектр. В дальнейшем результат М.А.Наймарка был усилен в работах В.Б. Лидского. Условия на комплексный потенциал, приведенные В.Б. Лидским, гарантируют аккретивность исследуемых операторов Штурма-Лиувилля. Актуальным оставался вопрос о существовании неаккретивных операторов Штурма-Лиувилля с дискретным спектром. В предлагаемой статье дается ответ на указанный вопрос. Для уравнения Штурма–Лиувилля с комплексным потенциалом построено специальное решение, которое убывает на бесконечности и при каждом фиксированном значении независимой переменной является целой функцией спектрального параметра. Используя это решение, получено обобщение известной теоремы В.Б. Лидского об условиях на потенциал, при которых спектр соответствующего оператора Штурма-Лиувилля дискретен, а система корневых векторов полна и минимальна. В отличие от работы В.Б. Лидского, вместо ограниченности снизу вещественной части или полуограниченности мнимой части потенциала требуется лишь, чтобы область значений потенциала лежала вне некоторого угла произвольного раствора с биссектрисой по отрицательной вещественной полуоси.

Литература

[1] M.A. Naimark, Investigation of the spectrum and the expansion in eigenfunctions of a nonselfadjoint operator of the second order on a semi-axis (Trudy Moskov. Mat. Obsc., 3 (1954), 181–270) [in Russian].
[2] I.M. Glazman, Direct Methods of Qualitative Spectral Analysis of Singular Differential Operators (Israel Program for Scientific Trans., Jerusalem, 1965).
[3] H. Weyl, "Uber gew¨ohnliche Differentialgleichungen mit Singularit¨aten und die zugeh¨origen Entwicklungen willku¨rlicher¨ Funktionen", Мат. Ann. 68 (1910), 220–269.
[4] M.A. Naimark, "On the spectrum of singular nonselfadjoint differential second-order operators", Dokl. Akad. Nauk SSSR 85:1 (1952), 41–44 [in Russian].
[5] V.B. Lidskii, Conditions for completeness of a system of root subspaces for non-selfadjoint operators with discrete spectrum (Tr. Mosk. Mat. Obs., 8 GIFML, Moscow, (1959), 83–120) [in Russian].
[6] V.B. Lidskii, A non-selfadjoint operator of Sturm–Liouville type with a discrete spectrum (Tr. Mosk. Mat. Obs., 9 (1960), 45–79) [in Russian].
[7] T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators (Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1966).
[8] D.B. Sears, "Note on the uniqueness of the Green’s functions associated with certain differential equations", Canadian J. of Math. 2:3(1950), 314–325.
[9] R. Mennicken, M. M¨oller, Non-Self-Adjoint Boundary Eigenvalue Problems (Elsevier, Amsterdam–London, 2003). Zbl 1033.34001
[10] F. Bagarello, J.P. Gazeau, F.H. Szafraniec, M. Znojil, Non-Selfadjoint Operators in Quantum Physics: Mathematical Aspects (Hoboken: John Wiley and Sons, New Jersey, 2015).
[11] J. Sj¨ostrand, Spectral instability for non-selfadjoint operators (Palaiseau Cedex, Preprint / Ecole Polytechnique, 2002).
[12] E.B. Davies, "Non-self-adjoint differential operators", Bull. London Math. Soc. 34:5(2002), 513–532.
[13] Kh.K. Ishkin, "On the Spectral Instability of the Sturm–Liouville Operator with a Complex Potential", Differ. Equ. 45:4 (2009), 494–509 (Translated from Differ. Uravneniya 45:4 (2009), 480–495).
[14] Kh.K. Ishkin, "A localization criterion for the eigenvalues of a spectrally unstable operator", Doklady Mathematics 80:3 (2009), 829–832 (Translated from Dokl. AN 429:3 (2009), 301–304).
[15] Kh.K. Ishkin, "Conditions of Spectrum Localization for Operators not Close to Self-Adjoint Operators", Doklady Mathematics 97:2 (2018), 170–173 (Translated from Dokl. AN 479:5 (2018), 497–500).
[16] E.B. Davies, "Eigenvalues of an elliptic system", Math. Zeitschrift 243 (2003), 719–743.
[17] Kh.K. Ishkin, "On localization of the spectrum of the problem with complex weight", Journal of Mathematical Sciences 150:6 (2008), 2488–2499 (Translated from Fundamentalnaya i Prikladnaya Matematika 12:5 (2006), 49–64).
[18] Kh.K. Ishkin, "On analytic properties of Weyl function of Sturm–Liouville operator with a decaying complex potential", Ufa Math. Journal 5:1 (2013), 36–55.
[19] Kh.K. Ishkin, "On a Trivial Monodromy Criterion for the Sturm–Liouville Equation", Math. Notes 94:4 (2013), 508–523 (Translated from Matem. Zametki 94:4 (2013), 552–568).
[20] A.M. Savchuk, A.A. Shkalikov, "Spectral Properties of the Complex Airy Operator on the Half-Line", Funct. Anal. Appl. 51:1 (2017), 66–79 (Translated from Funk. analiz i ego pril. 51:1 (2017), 82–98).
[21] Kh.K. Ishkin, "A localization criterion for the spectrum of the Sturm-Liouville operator on a curve", St. Petersburg Math. J. 28:1 (2017), 37–63 (Translated from Algebra i Analiz 28:1 (2016), 52–88).
[22] Kh.K. Ishkin, A.V. Rezbayev, "Toward the Davies formula on the distribution of the eigenvalues of a nonselfadjoint differential operator", Complex analysis, Itogi Nauki Tekh. Ser. Sovrem. Mat. Prilozh. Temat. Obz., VINITI 153 (2018), 84–93 [in Russian]. [23] M.V. Fedoryuk, Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations (Springer-Verlag, Berlin, 1993). Zbl 0782.34001
[23] M.V. Fedoryuk, Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations (Springer-Verlag, Berlin, 1993). Zbl 0782.34001
[24] B.Ya. Levin, Distribution of Zeros of Entire Functions (Gostekhizdat, Moscow, 1956); English transl., Amer. Math. Soc.,
Providence, RI, 1964.
Опубликован
2020-12-30