Дискреттi спектрi бар Штурм–Лиувилль секторлық емес операторы
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2020.v108.i4.02Кілттік сөздер:
спектрлiк тұрақсыздық, спектрдiң локализациясы, Штурм-Лиувилль теңдеуi, тривиалды монодромияАннотация
Алғаш рет комплекс потенциалды Штурм-Лиувилль теңдеулерiн М.А. Наймарк зерттедi. М.А. Наймарк комплекс потенциал үшiн оған сәйкес келетiн Штурм-Лиувилль операторының жартылай өсте дискреттi спектрi болған жағдайда жеткiлiктi шарттарды таба алды. Кейiн М.А. Наймарктың нәтижесi В.Б. Лидскийдiң жұмыстарында күшейтiлдi. Комплекс потенциалға В.Б. Лидскиймен келтiрген шарттар Штурм-Лиувилль операторларының аккретивтiлiгiне кепiлдiк бередi. Дискреттi спектрi бар Штурм-Лиувилльдiң аккретивтi емес операторларының бар болуы туралы мәселе өзектi болып қала бердi. ұсынылып отырған мақалада көрсетiлген сұраққа жауап берiледi. Комплекс потенциалды Штурм-Лиувилль теңдеуi үшiн шексiздiкте кемитiн және тәуелсiз айнымалының әр бiр бекiтiлген мәнiнде спектрлiк параметрдiң бүтiн функциясы болаты арнайы шешiмi құрылды. Осы шешiмдi қолдана отырып, В.Б. Лидскийдiң потенциалға қойылатын шарттар туралы белгiлi теоремасының жалпыламасы алынды. Осы шарттар орындалғанда сәйкес Штурм-Лиувилль оператрының спектрi дискреттi, ал түбiрлiк векторлар жүйесi толық және минималды болады. В.Б. Лидскийдiң жұмысына қарағандағы айырмашылық - потенциалдың нақты бөлiгiнiң төменнен шенелген болуы немесе жорамал бөлiгiнiң жартылай шенелген болуы шарттарының орнына тек қана потенциалдың мәндер жиыны биссектриса мен кейбiр түзудiң арасындағы бұрыштан тыс жорамал өс бойында оранласыу талап етiледi.
Библиографиялық сілтемелер
[2] I.M. Glazman, Direct Methods of Qualitative Spectral Analysis of Singular Differential Operators (Israel Program for Scientific Trans., Jerusalem, 1965).
[3] H. Weyl, "Uber gew¨ohnliche Differentialgleichungen mit Singularit¨aten und die zugeh¨origen Entwicklungen willku¨rlicher¨ Funktionen", Мат. Ann. 68 (1910), 220–269.
[4] M.A. Naimark, "On the spectrum of singular nonselfadjoint differential second-order operators", Dokl. Akad. Nauk SSSR 85:1 (1952), 41–44 [in Russian].
[5] V.B. Lidskii, Conditions for completeness of a system of root subspaces for non-selfadjoint operators with discrete spectrum (Tr. Mosk. Mat. Obs., 8 GIFML, Moscow, (1959), 83–120) [in Russian].
[6] V.B. Lidskii, A non-selfadjoint operator of Sturm–Liouville type with a discrete spectrum (Tr. Mosk. Mat. Obs., 9 (1960), 45–79) [in Russian].
[7] T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators (Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1966).
[8] D.B. Sears, "Note on the uniqueness of the Green’s functions associated with certain differential equations", Canadian J. of Math. 2:3(1950), 314–325.
[9] R. Mennicken, M. M¨oller, Non-Self-Adjoint Boundary Eigenvalue Problems (Elsevier, Amsterdam–London, 2003). Zbl 1033.34001
[10] F. Bagarello, J.P. Gazeau, F.H. Szafraniec, M. Znojil, Non-Selfadjoint Operators in Quantum Physics: Mathematical Aspects (Hoboken: John Wiley and Sons, New Jersey, 2015).
[11] J. Sj¨ostrand, Spectral instability for non-selfadjoint operators (Palaiseau Cedex, Preprint / Ecole Polytechnique, 2002).
[12] E.B. Davies, "Non-self-adjoint differential operators", Bull. London Math. Soc. 34:5(2002), 513–532.
[13] Kh.K. Ishkin, "On the Spectral Instability of the Sturm–Liouville Operator with a Complex Potential", Differ. Equ. 45:4 (2009), 494–509 (Translated from Differ. Uravneniya 45:4 (2009), 480–495).
[14] Kh.K. Ishkin, "A localization criterion for the eigenvalues of a spectrally unstable operator", Doklady Mathematics 80:3 (2009), 829–832 (Translated from Dokl. AN 429:3 (2009), 301–304).
[15] Kh.K. Ishkin, "Conditions of Spectrum Localization for Operators not Close to Self-Adjoint Operators", Doklady Mathematics 97:2 (2018), 170–173 (Translated from Dokl. AN 479:5 (2018), 497–500).
[16] E.B. Davies, "Eigenvalues of an elliptic system", Math. Zeitschrift 243 (2003), 719–743.
[17] Kh.K. Ishkin, "On localization of the spectrum of the problem with complex weight", Journal of Mathematical Sciences 150:6 (2008), 2488–2499 (Translated from Fundamentalnaya i Prikladnaya Matematika 12:5 (2006), 49–64).
[18] Kh.K. Ishkin, "On analytic properties of Weyl function of Sturm–Liouville operator with a decaying complex potential", Ufa Math. Journal 5:1 (2013), 36–55.
[19] Kh.K. Ishkin, "On a Trivial Monodromy Criterion for the Sturm–Liouville Equation", Math. Notes 94:4 (2013), 508–523 (Translated from Matem. Zametki 94:4 (2013), 552–568).
[20] A.M. Savchuk, A.A. Shkalikov, "Spectral Properties of the Complex Airy Operator on the Half-Line", Funct. Anal. Appl. 51:1 (2017), 66–79 (Translated from Funk. analiz i ego pril. 51:1 (2017), 82–98).
[21] Kh.K. Ishkin, "A localization criterion for the spectrum of the Sturm-Liouville operator on a curve", St. Petersburg Math. J. 28:1 (2017), 37–63 (Translated from Algebra i Analiz 28:1 (2016), 52–88).
[22] Kh.K. Ishkin, A.V. Rezbayev, "Toward the Davies formula on the distribution of the eigenvalues of a nonselfadjoint differential operator", Complex analysis, Itogi Nauki Tekh. Ser. Sovrem. Mat. Prilozh. Temat. Obz., VINITI 153 (2018), 84–93 [in Russian]. [23] M.V. Fedoryuk, Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations (Springer-Verlag, Berlin, 1993). Zbl 0782.34001
[23] M.V. Fedoryuk, Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations (Springer-Verlag, Berlin, 1993). Zbl 0782.34001
[24] B.Ya. Levin, Distribution of Zeros of Entire Functions (Gostekhizdat, Moscow, 1956); English transl., Amer. Math. Soc.,
Providence, RI, 1964.
