ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С КОЛЕБЛЮЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

  • A. N. Yesbayev Евразийский Национальный университет им. Л.Гумилева, Казахстан, г.Нур-Султан
  • K. N. Ospanov Евразийский Национальный университет им. Л.Н. Гумилёва, Казахстан, г. Нур-Султан http://orcid.org/0000-0002-5480-2178
Ключевые слова: second order differential equation, linear differential equation, differential equation in an unbounded domain, maximal regularity, oscillating coefficients

Аннотация

В работе рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка с неограниченными коэффициентами. Получены достаточные условия суммируемости с весом решения и его производных вплоть до второго порядка. Изучаемое уравнение является сингулярным, так как оно задано в бесконечной области, а его коэффициенты могут быть не ограниченными. Главной его особенностью является быстрый рост коэффициента при первой производной искомого решения, из-за чего не применима хорошо развитая теория уравнений Штурма-Лиувилля. Исследуемое уравнение и его многомерные обобщения возникают в моделировании броуновского движения частиц, в задачах биологии и финансовой математики. Их известными представителями являются уравнения Орнштейна-Уленбека и Фоккера-Планка –Колмогорова, которые активно изучаются начиная с первой половины двадцатого века. С другой стороны, в  приложениях  хорошо  известны  проекционные методы (например, преобразования Фурье или Лапласа), которые сводят  уравнения  в частных производных с коэффициентами, зависящими от одной переменной, к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому настоящее исследование важно для уравнений в частных производных с неограниченными коэффициентами. В отличие от предыдущих  работ,  старший  и  промежуточный   коэффициенты   исследуемого   уравнения могут быть сильно колеблющимися. При доказательстве основных теорем, авторы пользуются более ранним их результатом о корректной разрешимости указанного уравнения.

Литература

[1] Ospanov K., Yesbayev A., "Solvability and maximal regularity results for a differential
equation with diffusion coefficient" , Turk. J. Math., 44:4 (2020): 1304-1316.
[2] Bogachev V.I., Krylov N.V., R¨ockner M., Shaposhnikov S.V., Fokker-Planck-Kolmogorov
equations: Mathematical surveys and monographs. (Providence: American Mathematical
Society, 2015).
[3] Fornaro S., Lorenzi L., "Generation results for elliptic operators with unbounded diffusion
coefficients in Lp-and Cb-spaces" , Discrete Contin. Dyn. Syst., 18:5 (2007): 747-772.
[4] Hieber M., Sawada O., "The Navier-Stokes Equations in Rn with Linearly Growing Initial
Data" , Arch. Ration. Mech. Anal., 175 (2005): 269-285.
[5] Metafune G., Pallara D., Vespri V., "Lp-estimates for a class of elliptic operators with
unbounded coefficients in Rn" , Houston J. Math., 31 (2005): 605-620.
[6] Hieber M., Lorenzi L., Pr¨uss J., Rhandi A., Schnaubelt R., "Global properties of
generalized Ornstein-Uhlenbeck operators on Lp(RN;RN) with more than linearly growing
coefficients" , J. Math. Anal. Appl., 350 (2009): 100-121.
[7] Ospanov K. N., Akhmetkaliyeva R. D., "Separation and the existence theorem for second
order nonlinear differential equation" , Elec. J. Qual. Th. Dif. Eq., 66 (2012): 1-12.
[8] Everitt W. N., Giertz M., Weidmann J., "Some remarks on a separation and limit-point
criterion of second-order, ordinary differential expressions" , Math. Ann., 200:4 (1973):
335–346.
[9] Otelbaev M., "Coercive estimates and separation theorems for elliptic equations in Rn" ,
Proc. Steklov Inst. Math., 161 (1983): 213-239.
[10] Kato T., Perturbation Theory for Linear Operators (Berlin: Heidelberg GmbH & Co.,
1995).
Опубликован
2021-04-16