Об одном примере к теореме Боаса

Аңдатпа

В этой работе изучается связь между суммируемостью заданной числовой последовательности, стремящейся к нулю, и интегрируемостью соответствующего ей тригонометрического ряда. Точнее, в статье рассматривается вопрос об обобщении теоремы Боаса о коэффициентах Фурье монотонных функций. Согласно указанной теореме норма монотонной функции в пространстве Лоренца L_p,q[0, 1], 1 < p < ∞ , 1 ≤ q ≤ ∞ эквивалентна норме последовательности коэффициентов Фурье функции в дискретном пространстве Лоренца l_p′,q, где p ′ = p/p−1. Для заданного 0 < α ≤ 1 введен класс α-монотонных функций, содержащий класс абсолютно непрерывных, невозрастающих функций. α -монотонная функция определяется как функция, обладающая абсолютно непрерывным, невозрастающим правосторонним дробным интегралом Римана-Лиувилля порядка 1 − α . Вопрос о возможности обобщения теоремы Боаса на класс α-монотонных функций представляет для нас большой интерес. В работе построен пример α -монотонной функции, который показывает, что теорема Боаса неверна для α-монотонных функций в случае p < 1/α. Из этого вытекает, что теорему Боаса для α-монотонных функций стоит исследовать в случае p ≥ 1/α.