Задача продолжения для уравнения электродинамики. The continuation problem for the electrodynamics equation.

Аннотация

В работе рассматриваются задачи продолжения решений гиперболических уравнений с части границы области. К этим задачам относятся задача Коши для гиперболического уравнения с данными на времени подобной поверхности. Во многих обратных задачах искомые неоднородности расположены на некоторой глубине под слоем среды, параметры которой известны (в геофизике это, как правило, однородные или слоистые среды). В этом случае важным инструментом для практиков являются задачи продолжения геофизических полей с земной поверхности в сторону залегания неоднородностей. Рассмотрена физическая постановка задачи продолжения и сведена к обратной задаче. Задача продолжения формулируется в виде операторного уравнения Aq = f. Рассмотрены корректность: существование, единственность и устойчивость прямой задачи. Задачи продолжения решений уравнений математической физики с части границы во многих случаях являются сильно некорректными задачами в классах функций конечной гладкости. Для решения задачи продолжения применяются градиентные методы минимизации целевого функционала J(q) =< Aq − f; Aq − f >.Целевой функционал минимизирован методом Ландвебера. Вычислен градиент функционала и приведен алгоритм решения обратной задачи. На основе оценок условной устойчивости исследована скорость сходимости градиентных методов. Для численного решения задачи приведен конечно-разностный алгоритм решения задачи. Расчеты проведены для трех различных сред: с одной неоднородностью, с двумя неоднородностями и тремя неоднородностями, расположенными на глубине 6 м. Представлены результаты численных расчетов. In this paper we consider the continuation problems of hyperbolic equation solutions with part of the boundary. These problems include the Cauchy problem for a hyperbolic equation with data on a timelike surface. Many of inverse problems desired inhomogeneity located at some depth beneath the medium whose parameters are known (in geophysics is usually homogeneous or layered medium). In this case, an important tool for practitioners are continuation problems of geophysical fields from the surface towards the occurrence of inhomogeneities. We consider the physical formulation of the continuation problem and reduced to the inverse problem. The continuation problem is formulated as an operator equation Aq = f. We have considered the correctness: the existence, uniqueness and stability of the direct problem. Continuation problem solutions of equations of mathematical physics with part of the boundary in many cases are highly ill-posed problems in classes of functions of finite smoothness. For solving the continuation problem we used the gradient methods to minimize the objective functional J(q) =< Aq − f; Aq − f >. Objective functional is minimized by the Landweber’s method. Written out gradient of the functional and presented the algorithm of solving the inverse problem. Based on estimates of the conditional stability, we investigated the rate of convergence of gradient methods. For the numerical solution of the problem reduced finite-difference algorithm for solving the problem. Calculations are carried for three different media: with one inhomogeneity, with two inhomogeneities and three inhomogeneities in, which are located at a depth of 6 m. The results of numerical calculations was presented.