РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v115.i3.01Ключевые слова:
Псевдогиперболическое уравнение, обратная задача, уравнение Клейна-Гордона, метод Галеркина, метод компактности, существование, единственностьАннотация
Исследуется разрешимость обратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента в псевдогиперболическомуравнении, известного как уравнение Клейна-Гордона. Отличительной особенностью изучаемой задачи является то, что неизвестный коэффициент является функцией, зависящей лишь от временной переменной. Задача рассматривается в цилиндрической области, задаются условия обычной начально-краевой задачи. В качестве дополнительного условия используется условие интегрального переопределения. В работеобратная задача сводится к эквивалентной задаче для нагруженного нелинейного псевдогиперболическогоуравнения. Подобные уравнения относятся к классу дифференциальных уравнений в частных производных, не разрешенные относительно старшей производной по времени и они также называются уравнениями составного типа. При доказательстве применяются метод Галеркина и метод компактности (с использованием полученных априорных оценок).Для изучаемой задачи авторы доказывают теоремы существования и единственности решения в рассматриваемых классах.
Библиографические ссылки
[1] Greiner W., Relativistic Quantum Mechanics - Wave Equations, 3rd ed. Berlin: Springer; 2000.
[2] Dodd R. K. Solitons and nonlinear wave equations / R. K. Dodd, I. C. Eilbeck, J. D. Gibbon,H. C. Morris. L.: Acad.
Press, 1982.
[3] Strauss W, Vazquez L. Numerical solution of a nonlinear Klein-Gordon equation.JComput Phys. 1978;28(2):271-278.
[4] Jim nez S, Vazquez L. Analysis of four numerical schemes for a nonlinear Klein-Gordon equation.Appl Math Comput. 1990;35(1):61-94.
[5] Wong YS, Qianshun C, Lianger G. An initial-boundary value problem of a nonlinear Klein-Gordon equation.Appl Math Comput.1997;84(1):77-93.
[6] Wazwaz A. M. Compactons, solitons and periodic solutions for some forms of nonlinear Klein-Gordon equations // Chaos Solitons Fractals. 2006. V. 28. P. 1005–1013.
[7] Sassaman R., Biswas A. Soliton perturbation theory four phi-four model and nonlinear Klein-Gordon equations // Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2009. V. 14. P. 3239–3249.
[8] Sassaman R., Biswas A. Topological and non-topological solitons of the generalized Klein-Gordon equations // Appl. Math. Comput. 2009. V. 215. P. 212–220.
[9] Bratsos A. G., Petrakis L. A. A modified predictor-corrector scheme for the Klein-Gordonequation // Intern. J. Comput. Math. 2010. V. 87, N 8. P. 1892–1904.
[10] B¨ohme C, Michael R. A scale-invariant Klein-Gordon model with time-dependent potential.Ann Univ Ferrara.
2012;58(2):229-250. [11] Bhme C, Michael R. Energy bounds for Klein-Gordon equations with time-dependent potential.Ann Univ Ferrara. 2013;59(1):31-55.
[12] Hao Cheng, Xiyu Mu, GreenTMs function for the boundary value problem of the static Klein-Gordon equation stated on a rectangular region and its convergence analysis. Boundary Value Problems (2017) 2017:72.
[13] Tekin I, Mehraliyev YT, Ismailov MI. Existence and uniqueness of an inverse problemfor nonlinear Klein-Gordon equation.Math Meth Appl Sci. 2019;1-15.https://doi.org/10.1002/mma.5609
[14] Sobolev, S. L.; On certain new problem of mathematical physics. Izvestia Acad. Nauk.Mathem. 1954, no. 18, p. 3-50.
[15] Kozhanov, A.I., Comparison Theorems and Solvability of Boundary Value Problems for Some Classes of Evolution Equations Like Pseudoparabolic and Pseudohyperbolic Ones, Preprint Inst. Mat. Acad. Sci., Novosibirsk, 1990, no. 17
[16] Demidenko, G., The Cauchy problem for pseudohyperbolic equations, Selcuk J Appl Math, Vol. 1,No.1, pp.47-62, 2000.
[17] Sveshnikov, A. G.; Alshin, A. B.; Korpusov, O. M.; Pletner, Yu. D.; Linear and nonlinearSobolev type equations.
Moscow.,Phizmatlit. 2007.
[18] Korpusov, O. M., Blow-up in nonclassical wave equations. Moscow, URSS. 2010.
[19] Pulkina, L.S. Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations // Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2012 (2012), No. 116, pp. 1–9.
[20] Yamamoto, M., Zhang, X.: Global uniqueness and stability for a class of multidimensional inverse hyperbolic problems with two unknowns. Appl. Math. Optim. 48, 211–228 (2003)
[21] Oussaeif,T.E., Bouziani, A.: Inverse problem of hyperbolic equationwith an integral overdetermination condition. Electron J. Diff. Equ. 2016(138), 1–7 (2016)
[22] Shahrouzi, M.: On behavior of solutions to a class of nonlinear hyperbolic inverse source problem. Acta. Math. Sin-English Ser. 32(6), 683–698 (2016)
[23] Shahrouzi, M.: Blow up of solutions to a class of damped viscoelastic inverse source problem. Differ. Equ. Dyn. Syst. 28, 889-899 (2020)
[24] Shahrouzi, M.: General decay and blow up of solutions for a class of inverse problem with elasticity term and variableexponent nonlinearities. Math Meth Appl Sci, (2021), Early view, https://doi.org/10.1002/mma.789
[2] Dodd R. K. Solitons and nonlinear wave equations / R. K. Dodd, I. C. Eilbeck, J. D. Gibbon,H. C. Morris. L.: Acad.
Press, 1982.
[3] Strauss W, Vazquez L. Numerical solution of a nonlinear Klein-Gordon equation.JComput Phys. 1978;28(2):271-278.
[4] Jim nez S, Vazquez L. Analysis of four numerical schemes for a nonlinear Klein-Gordon equation.Appl Math Comput. 1990;35(1):61-94.
[5] Wong YS, Qianshun C, Lianger G. An initial-boundary value problem of a nonlinear Klein-Gordon equation.Appl Math Comput.1997;84(1):77-93.
[6] Wazwaz A. M. Compactons, solitons and periodic solutions for some forms of nonlinear Klein-Gordon equations // Chaos Solitons Fractals. 2006. V. 28. P. 1005–1013.
[7] Sassaman R., Biswas A. Soliton perturbation theory four phi-four model and nonlinear Klein-Gordon equations // Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2009. V. 14. P. 3239–3249.
[8] Sassaman R., Biswas A. Topological and non-topological solitons of the generalized Klein-Gordon equations // Appl. Math. Comput. 2009. V. 215. P. 212–220.
[9] Bratsos A. G., Petrakis L. A. A modified predictor-corrector scheme for the Klein-Gordonequation // Intern. J. Comput. Math. 2010. V. 87, N 8. P. 1892–1904.
[10] B¨ohme C, Michael R. A scale-invariant Klein-Gordon model with time-dependent potential.Ann Univ Ferrara.
2012;58(2):229-250. [11] Bhme C, Michael R. Energy bounds for Klein-Gordon equations with time-dependent potential.Ann Univ Ferrara. 2013;59(1):31-55.
[12] Hao Cheng, Xiyu Mu, GreenTMs function for the boundary value problem of the static Klein-Gordon equation stated on a rectangular region and its convergence analysis. Boundary Value Problems (2017) 2017:72.
[13] Tekin I, Mehraliyev YT, Ismailov MI. Existence and uniqueness of an inverse problemfor nonlinear Klein-Gordon equation.Math Meth Appl Sci. 2019;1-15.https://doi.org/10.1002/mma.5609
[14] Sobolev, S. L.; On certain new problem of mathematical physics. Izvestia Acad. Nauk.Mathem. 1954, no. 18, p. 3-50.
[15] Kozhanov, A.I., Comparison Theorems and Solvability of Boundary Value Problems for Some Classes of Evolution Equations Like Pseudoparabolic and Pseudohyperbolic Ones, Preprint Inst. Mat. Acad. Sci., Novosibirsk, 1990, no. 17
[16] Demidenko, G., The Cauchy problem for pseudohyperbolic equations, Selcuk J Appl Math, Vol. 1,No.1, pp.47-62, 2000.
[17] Sveshnikov, A. G.; Alshin, A. B.; Korpusov, O. M.; Pletner, Yu. D.; Linear and nonlinearSobolev type equations.
Moscow.,Phizmatlit. 2007.
[18] Korpusov, O. M., Blow-up in nonclassical wave equations. Moscow, URSS. 2010.
[19] Pulkina, L.S. Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations // Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2012 (2012), No. 116, pp. 1–9.
[20] Yamamoto, M., Zhang, X.: Global uniqueness and stability for a class of multidimensional inverse hyperbolic problems with two unknowns. Appl. Math. Optim. 48, 211–228 (2003)
[21] Oussaeif,T.E., Bouziani, A.: Inverse problem of hyperbolic equationwith an integral overdetermination condition. Electron J. Diff. Equ. 2016(138), 1–7 (2016)
[22] Shahrouzi, M.: On behavior of solutions to a class of nonlinear hyperbolic inverse source problem. Acta. Math. Sin-English Ser. 32(6), 683–698 (2016)
[23] Shahrouzi, M.: Blow up of solutions to a class of damped viscoelastic inverse source problem. Differ. Equ. Dyn. Syst. 28, 889-899 (2020)
[24] Shahrouzi, M.: General decay and blow up of solutions for a class of inverse problem with elasticity term and variableexponent nonlinearities. Math Meth Appl Sci, (2021), Early view, https://doi.org/10.1002/mma.789
Загрузки
Как цитировать
Aitzhanov, S., Ferreira, J., & Zhalgassova, K. (2022). РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 115(3), 3–15. https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v115.i3.01
Выпуск
Раздел
Математика
