Асимптотическое разложение решения задачи для сингулярно возмущенных линейных импульсных систем
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS2024-122-02-b2Ключевые слова:
сингулярное возмущение, дифференциальные уравнения с сингулярными импульсами, малый параметрАннотация
В статье рассматривается сингулярно возмущенная линейная импульсная система, в которой импульсы также сингулярно возмущены. Во многих книгах обсуждались различные типы задач с сингулярными возмущениями. В [25] и в некоторых других статьях были изучены импульсные системы с малым параметром, присутствующим только в дифференциальных уравнениях. В настоящей работе был введен малый параметр также в уравнение импульса. Это представляет собой главную новизну данного исследования. Более того, было установлено необходимое условие, предотвращающее коллапс импульсной функции при уменьшении параметра до нуля. Этот результат значительно расширяет понятие сингулярности в разрывной динамике. В настоящей работе построено асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной начальной задачи с произвольной степенью точности по малому параметру. Сформулирована теорема об оценке остаточного члена асимптотического разложения, что показывает оценку разности между точным решением и его приближенным решением. Эти результаты расширяют результаты работы [32], в которой сформулирован аналог теоремы Тихонова о предельном переходе. Приведен пример с моделированием, подтверждающий теоретический результат.
Библиографические ссылки
Segel L. A., Slemrod M. The quasi-steady state assumption: A case study in perturbation. SIAM Review, 1989; 31: 446-477.
Hek G. Geometric singular perturbation theory in biological practice. Journal of Mathematical Biology, 2010; 60: 347-386.
Damiano E. R., Rabbitt R. D. A singular perturbation model of fluid dynamics in the vestibular semicircular canal and ampulla. Journal of Fluid Mechanics, 1996; 307: 333-372.
Gondal I. On the application of singular perturbation techniques to nuclear engineering control problems. IEEE Transactions on Nuclear Science, 1988; 35(5): 1080-1085.
Kokotovic P. V. Applications of singular perturbation techniques to control problems. SIAM Review, 1984; 26(4): 501-550.
Wang Y., Deng, Q. G. Fractal derivative model for tsunami traveling. Fractals, 2019; 27(1):1950017.
Liu F. J., Zhang T., He C. H., Tian D. Thermal oscillation arising in a heat shock of a porous hierarchy and its application. Facta Universitatis Series: Mechanical Engineering, 2022; 20(3): 633-645.
El-Dib Y. O. Insightful and comprehensive formularization of frequency-amplitude formula for strong or singular nonlinear oscillators, Journal of Low Frequency Noise Vibration and Active Control, 2023. DOI:10.1177/14613484221118177.
He C. H., Liu C. Variational principle for singular waves. Chaos, Solitons and Fractals, 2023; Volume 172, July:113566.
Wilkening J., Zhao X. Spatially quasi-periodic bifurcations from periodic traveling water waves and a method for detecting
bifurcations using signed singular values. Journal of Computational Physics, 2023; Volume 478, April:111954.
Sebih M. E., Wirth J. On a wave equation with singular dissipation. Mathematische Nachrichten, July 2022; 295(9): DOI: 10.1002/mana.202000076.
Vasil’eva A., Butuzov V., Kalachev L. The Boundary Function Method for Singular Perturbation Problems. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1995.
Anjum N., He J. H., Ain Q. T., Tian D. Li-HeГfs modified homotopy perturbation method for doublyclamped electrically ´ actuated microbeams-based microelectromechanical system. Facta Universitatis Series: Mechanical Engineering, 2021; Vol. 19, No 4: 601 . 612.
Li X., Bohner M., Wang C. K. Impulsive differential equations: periodic solutions and applications. Automatica, 2015; vol. 52:173.178.
Kang A., Xue Y., Jin Z. Dynamic behavior of an ecoepidemic system with impulsive birth. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, vol. 345, no. 2: 783.795.
D’onofrio A. On pulse vaccination strategy in the SIR epidemic model with vertical transmission. Appl. Math. Lett., 2005; 18: 729-732.
Dishliev A., Bainov D. D. Dependence upon initial conditions and parameters of solutions of impulsive differential equations with variable structure. International Journal of Theoretical Physics, 1990; 29: 655-676.
Bainov D. D., Simenov P. S. Systems with Impulse Effect Stability Theory and Applications. Ellis Horwood Limited, Chichester, 1989.
He D., Xu L. Integrodifferential inequality for stability of singularly perturbed impulsive delay integrodifferential equations. Journal of Inequalities and Applications, 2009; 11 pages: ID 369185.
Witayakiattilerd W. PID Controller Singularly Perturbing Impulsive Differential Equations and Optimal Control Problem. Advances in Mathematical Physics 2017(2):1-11, DOI:10.1155/2017/1938513.
Akhmet M. Principles of Discontinuous Dynamical Systems, Springer. New York, 2010.
Chen W. H., Yuan G., Zheng W. X. Robust stability of singularly perturbed impulsive systems under nonlinear Perturbation. IEEE Transactions on Automatic Control, 2013; 58(1): 168-174.
Chen W. H., Chen F., Lu X. Exponential stability of a class of singularly perturbed stochastic time-delay systems with impulse effect. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010; 11(5): 3463-3478
Simeonov P., Bainov D. Stability of the solutions of singularly perturbed systems with impulse effect. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1988; 136(2): 575-588.
Bainov D., Covachev V. Impulsive Differential Equations with a Small Parameter. World Scientific, 1994.
O’Malley REJ. Singular Perturbation Methods for Ordinary Differential Equations. New York: Applied Mathematical Sciences, Springer, 1991.
Vasil’eva A., Butuzov V.F. Asymptotic Expansion of Solutions of Singularly Perturbed Equations. Moscow: Nauka, 1973 (in russian).
Tikhonov A. N. Systems of differential equations containing small parameters in the derivatives. Matematicheskii sbornik, 1952; 73(3): 575-586.
Akhmet M., Dauylbayev M., Mirzakulova A. A singularly perturbed differential equation with piecewise constant argument of generalized type. Turkish Journal of Mathematics, 2018; 42(4): 1680-1685.
Akhmet M., ¸Ca˘g S. Chattering as a Singular Problem, Nonlinear Dynamics. 2017; 90(4): 2797.2812.
Akhmet M., ¸Ca˘g S. Bifurcation analysis of Wilson-Cowan model with singular impulses. Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity, 2021; 10(1): 161-172.
Akhmet M., ¸Ca˘g S. Tikhonov theorem for differential equations with singular impulses. Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity, 2018; 7(3): 291-303.
M. Akhmet, N. Aviltay, M. Dauylbayev, R. Seilova. A case of impulsive singularity. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, 2023; 117(1): 3-14.
N. Aviltay, M. Akhmet, A. Zhamanshin. Asymptotic solutions of differential equations with singular impulses. Carpathian Journal of Mathematics, 2024; 40(3): 581-598. DOI:10.37193/CJM.2024.03.02
