О некотором методе регуляризации решения нелинейного операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве

Аннотация

Многие прикладные задачи физики и геофизики сводятся к операторным уравнениям первого рода. К таким уравнениям сводятся также обратные задачи математической физики в тех случаях, когда выражение для функции Грина неизвестно. Обратная задача электрокаротажа скважин, определяющая месторождения и подсчет запасов полезных ископаемых являет- ся примером таких задач. Вышеперечисленные прикладные задачи являются актуальными задачами современной науки, решение этих задач может открыть новые грани современно- го состояния развития человечества. В связи с этим gодчеркивается важность исследования некорректно поставленных задач. В работе [1], М.М. Лаврентьевым предложен метод регуляризации решения линейного операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве с заменой исходного уравнения близким ему, в некотором смысле, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части, т.е. уравнение заменяется уравнением z + Az = u, where A- линейный оператор > 0 - параметр регуляризации. В работе [2] метод Ньютона приближенного решения уравнений был распространен Л.В. Канторовичем на функциональные уравнения K(z) = 0, где K(z)- лнелинейный, дважды дифференцируемый по Фреше оператор, действующий из одного пространства Банаха в другой. В данной работе предлагается комбинированный метод регуляризации нового типа, объединяющий идеи метода М.М. Лаврентьева [1], метода Ньютона-Канторовича [2] для регуляризации решения нелинейного операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве.