О соотношении между наилучшими приближениями в смешанных нормах

Аннотация

Впервые соотношение между наилучшими приближениями полиномами с гармониками из гиперболических крестов, соответствующих заданной смешанной производной,в изотропном пространстве доказал В.Н.Темляков ([1], 2.3 теорема). Основная теорема данной статьи посвящена обобщению соотношения, полученного В.Н.Темляковым, для анизотропного случая. Здесь основная проблема, порождающая некоторые трудности - наряду с доказательством неравества типа Бернштейна, которое играет важную роль в анизотропном пространстве, нахождение связи между p = (p_1, p_2, ..., p_d), q = (q_1, q_2, ..., q_d), r = (r_1, r_2, ..., r_d) и т.д. параметрами. В связи со сложностями названных вопросов, в 1991 г. Е.Айдосов получил рассматриваемое соотношение между наилучшими приближениями в разных смешанных нормах для случаев, когда вышеуказанные параметры удовлетворяют некоторым определенным условиям. А в данной статье для соотношения между наилучшими приближениями в разных смешанных нормах эти условия сняты, т.е. получено для общего случая, когда основные параметры имеют вид 1 < p_i < q-i < ∞, i = 1, ..., d, r = (r_1, ..., r_d), min r_i ≥ 0. В статье неравенство между наилучшими приближениями в нормах L_p(π_d) и L_q(π_d) выражается через тригонометрические полиномы, гармоники которых лежат в гиперболических крестах, соответствующих заданной смешанной производной. Из неравенства, указанного в теореме, можно получить вложения видов E_p,d,Q(λ) ⊂ L_q^(r)(πd), E_p,d,Q(λ) ⊂ E_q,d,Q^(r)(μ).