Построение базиса из системы собственных функций одной неусиленно регулярной краевой задачи
Ключевые слова:
нелокальные граничные условия, регулярные, но не усиленно регулярные краевые условия, базис, собственные функции, биортогональная системаАннотация
В настоящей работе мы исследуем нелокальную граничную спектральную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения на отрезке. Задачи подобного вида возникают при решении методом разделения переменных Фурье нелокальной краевой задачи для уравнений в частных производных. Например, при решении нестационарных задач диффузии с краевыми условиями типа Самарского-Ионкина. Или при решении задач стационарной диффузии с противоположными потоками на части границы. Граничные условия этой задачи являются регулярными, но не усиленно регулярными. Принципиальным отличием этой задачи является то, что система собственных функций является полной и минимальной, но не образует базиса. Поэтому прямое применение метода Фурье оказывается невозможным. Основываясь на этих собственных функциях в работе построена специальная система функций, которые уже образует базис. Однако полученная система уже не является системой собственных функций задачи. В работе демонстрируется, как этота новая система функций может быть использована для решения нелокальной краевой задачи на примере уравнения Лапласа.
Библиографические ссылки
[2] Locker J. Spectral Theory of Non-Self-Adjoint Two-Point Differential Operators. V.192 of Mathematical Surveys and Monographs. Amsterdam: North-Holland, 2003.
[3] Makin A.S. On Summability of Spectral Expansions Corresponding to the Sturm-Liouville Operator // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Vol.2012, Article ID 843562, p.1-13, doi:10.1155/2012/843562, (2012)
[4] Naimark M.A. Linear Differential Operators. New York: Ungar, 1967.
[5] Mihailov V.P. On Riesz bases in L 2 (0, 1) // Doklady Akademii Nauk SSSR. Vol.144, No.5, p.981-984, (1962) (in Russian)
[6] Kesel'man G.M. On the unconditional convergence of eigenfunction expansions of certain differential operators // Izv. Vuzov. Mat.. Vol.2, No.39, p.82-93, (1964) (in Russian)
[7] Dunford N.; Schwartz J.T. Linear Operators, Part III. New York: John Wiley & Sons, 1971.
[8] Lang P.; Locker J. Spectral theory of two-point differential operators determined by D^2. II. Analysis of case // Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol.146, No.1, p.148-191, (1990)
[9] Moiseev E.I.; Ambartsumyan V.E. On the solvability of nonlocal boundary value problem with the equality of flows at the part of the boundary and conjugated to its problem // Differential Equations. Vol.46, No.5, p.718-725, (2010)
[10] Moiseev E.I.; Ambartsumyan V.E. On the solvability of nonlocal boundary value problem with the equality of flows at the part of the boundary and conjugated to its problem // Differential Equations. Vol.46, No.6, p.892-895, (2010)
[11] Mokin A.Yu. On a family of initial-boundary value problems for the heat equation // Differential Equations. Vol.45, No.1, p.126-141, (2009)
