Обратимые многочлены

Аннотация

В данной статье рассматривается одномерный аналог проблемы якобиана. Здесь многочлены рассматриваются над коммутативным кольцом являющиеся алгеброй над полем рациональных чисел. Приведено условие, когда многочлен обратим относительно операции суперпозиции. Показано, что многочлен обратим относительно операции суперпозиции тогда и только тогда, когда его производная обратима в кольце многочленов относительно обычной операции. Обычно, проблема якобиана рассматривается над полем. Когда характеристика поле положительна, есть контрпример к проблеме якобиана. Над полем характеристики ноль одномерный аналог проблемы якобиана решается легко. В этом случае проблема якобиана верна для многочленов первой степени, точнее коэффициент при x должен быть отличен от нуля, а остальные несвободные коэффициенты равны нулю. Данное время проблема якобиана для многочленов от двух или более переменных не решена. Основной результат состоит в том, что решение проблемы якобиана сведено к решению проблемы якобиана для многочленов с компонентами линейной и кубической степени. Для келлеровых полиномиальных отображений решение проблемы якобиана равносильно инъективности полиномиальных отображений. В этом случае для решение проблемы якобиана необходимо, чтобы основное поле было алгебраически замкнутый.