О вероятностном решений задачи Коши для параболических уравнений
Ключевые слова:
Винеровский процесс, стохастический интеграл, условное математическое ожидание по траекториям процесса, совместное распределение, совместная характеристическая функция, преобразование ЛапласаАннотация
Вопросы о нахождении (условных) математических ожидании, совместных и маргинальных распределении различных функционалов от траекторий случайных процессов, выражаемых через самого процесса, обычного стохастического интеграла и стохастического интеграла Ито (стохастические интегралы понимаются как интегралы в среднеквадратичном смысле) относятся к числу важных вопросов как самой теории случайных процессов, так и ее многочисленных приложений. Но не всегда удается найти (совместных) распределений указанных функционалов прямыми вычислениями, поэтому обычно прибегают к тем или иным способам нахождения нужных характеристик. Одним из таких методов является так называемый метод дифференциальных уравнений, который сводит задачу о нахождении совместных распределений функционалов от случайных процессов к решению (связанных с данными функционалами) дифференциальных уравнений в частных производных. Целью настоящей работы является нахождение совместного распределения указанных выше видов функционалов, причем присутствующие в определениях этих функционалов подинтегральные функции зависят как от временной, так и от пространственной координат. Для этого сначала выводится уравнение для совместной характеристической функции рассматриваемых функционалов и показывается, что в некоторых частных случаях нахождение преобразования Лапласа решения этого уравнения можно свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В качестве приложения найдены явные виды распределения некоторого функционалов от винеровского процесса и обсуждены некоторые их возможные приложения.
Библиографические ссылки
[2] Wentzel A.D. A course in the theory of random processes (Moscow: Nauka, 1996).
[3] Skorokhod A.V. and Slobodenyuk N.P. Limit theorems for random walks (Kiev, Naukova Dumka, 1970).
[4] Akanbay N., Tulebaev B.B. and Ismayilova J.A., «One of the probabilistic solutions of the equation and its application», Vestnik of KazNRTU, No 4, vol. 104 (2014) : 375-382.
