Функция Грина задачи Дирихле для дифференциального оператора на графе-звезде
DOI:
https://doi.org/10.26577/jmmcs-2018-1-486Ключевые слова:
ориентированный граф, вершины графа, условия Кирхгофа, колебания упругих сетей, функция Грина задачи Дирихле, разложение по собственным функциямАннотация
В данной работе исследуется система дифференциальных уравнений второго порядка,
являющейся моделью колебательных систем со стержневой конструкцией. Задачи для
дифференциальных операторов на графах в настоящее время активно изучаются
математиками и имеют приложения в квантовой механике, органической химии,
нанотехнологиях, теории волноводов и других областях естествознания. В данной
статье выведена функция Грина задачи Дирихле для дифференциального оператора на
звездообразном графе. Значительную трудность представляет построение функции Грина
на геометрических графах при значениях независимых переменных близких к вершинам
графа. Нами использованы стандартные условия склейки во внутренних вершинах и
краевые условия Дирихле в граничных вершинах. Предлагается конструктивная схема
построения функции Грина краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля. Доказывается
существование разложения произвольной функции, заданного на графе, по собственным
функциям. Вопросы из спектральной теории, как построение функции Грина и разложение
по собственным функциям для моделей из соединенных стержней пока еще мало изучены.
Спектральный анализ дифференциальных операторов на геометрических графах является
основным математическим аппаратом при решении современных проблем квантовой
механики.
Библиографические ссылки
and P.T., 2010. (in Russian)
[2] Astudillo, M., Kurasov, P. and Usman, M. "RT -symmetric laplace operators on star graphs: Real spectrum and selfadjointness."
Adv. Math. Phys. 2015.
[3] Gerasimenko, N.I., and Pavlov, B.S. "Zadacha rasseiania na nekompaktnykh graphakh."[Scattering problem on a noncompact
graphs] Teor. mat.phys. 47(1988):345-14. (in Russian)
[4] Carlson, R. "Inverse eigenvalue problems on directed graphs."Trans. Amer. Math. Soc. 351(1999):101-20.
[5] Harary, F. Graph theory. Addison-Wesley Publishing Company, 1969.
[6] Jorge, M., Ramirez. "Green’s Functions for Sturm-Liouville Problems on Directed Tree Graphs."Revista Colombiana de
Matematicas 46(2012):15-10.
[7] Kurasov, P., and Stenberg, F. "On the inverse scattering problem on branching graphs."J. Phys. A. Math. Gen.
20(2002):647-25.
[8] Naimark, M.A. Lineinye differentsialnye operatory. [Linear differential operators] Мoskow: Nauka, 1969. (in Russian)
[9] Petrovskii, I.G. Лекций по теории интегральных уравнений [Lectures on the theory of integral equations]
Мoskow:OGIZ, 1948. (in Russian)
[10] Pokornyi, Yu.V. "O spektre nekotorykh zadach na graphakh."[On the spectrum of certain problems on graphs] Uspekhi
mat.nawki (42)1987:128-1. (in Russian)
[11] Pokornyi, Yu.V., and Penkin, O.M. "O kraevoi zadache na graphe."[On the boundary value problem on graphs] Differentialnie
uravnenia 24(1988): 701-3. (in Russian)
[12] Pokornyi, Yu.V., Priadiev, V.L., and Al-Obeid, A. "Ob ostsiliatsionnykh svoistvakh spektra kraevoi zadachi na
graphe."[On the ossulation properties of the spectrum of a boundary value problem on graphs] Matematicheskie zametki
60(1996):468-2. (in Russian)
[13] Pokornyi, Yu.V., and Priadiev, V.L. "Nekotorye problemy kachestvennoi teorrii Shturma-liuvillia na prostranstvennykh
setiakh."[Some problems of the qualitative Sturm-Liouville theory on spatial networks] Uspekhi mat.nauki 59(2004):115-35.
(in Russian)
[14] Pokornyi, Yu.V., Penkin, O.M., and Priadiev, V.L. Differentsialnie uravnenia na geometricheskikh graphakh. [On
the ossulation properties of the spectrum of a boundary value problem on graphs. Differential equations on graphs]
Moskow:Phizmatlit, 2005. (in Russian)
[15] Post, O. Spectral Analysis on Graph-Like Spaces. Springer Science and Business Media, 2039(2012).
[16] Yurko, V.A. "O vosstanovlenii operatorov Shturma-Liuvillia na graphakh."[On the reconstruction of Sturm-Liouville
operators on graphs] Mat. zametki 79(2006):619-21. (in Russian)
