Асимптотика решений уравнения Штурма–Лиувилля с мероморфным потенциалом
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS-2019-4-m3Ключевые слова:
асимптотика решений, безмонодромные потенциалыАннотация
В предлагаемой работе изучается вопрос о влиянии полюсов потенциала на асимптотику ре-
шений соответствующего уравнения Штурма–Лиувилля при больших значениях спектраль-
ного параметра. Показано, что асимптотика решений в существенном зависит от того, вы-
полняется или нет для полюсов потенциала условие тривиальной монодромии. Так, если
кривая и стягивающая ее хорда не содержат полюсов потенциала, а все полюса, лежащие
внутри области, ограниченной кривой и ее хордой, удовлетворяют условию тривиальной мо-
нодромии, то результат аналитического продолжения вдоль этой кривой решения с любыми
начальными условиями на одном из концов кривой имеет такую же асимптотику, как в слу-
чае голоморфного потенциала. Если внутри области, ограниченной кривой и ее хордой, есть
хотя бы один полюс, не удовлетворяющий условию тривиальной монодромии, то асимпто-
тика аналитического продолжения вдоль рассматриваемой кривой любого фиксированного
решения будет определяться матрицами монодромии части полюсов, лежащих внутри ука-
занной области. Основываясь на полученных оценках, найдена асимптотика спектра опера-
тора Штурма–Лиувилля на кривой, потенциал которого имеет внутри выпуклой оболочки
указанной кривой один полюс второго порядка, не удовлетворяющий условию тривиальной
монодромии.
Библиографические ссылки
[2] Langer R.E. The boundary problem of an ordinary linear differential system in the complex domain // Trans. Amer. Math. Soc. – 1939. – Vol. 46. – P. 151–190.
[3] Федорюк М.В. Аналитическая структура решений задачи Штурма–Лиувилля с регулярными особенностями // Дифференц. уравнения. –1990. – Vol. 26, № 9. – C. 1648–1650.
[4] Федорюк М.В. Изомонодромные деформации уравнений с иррегулярными особенностями // Матем. сб. – 1990. – Vol. 181, № 12. – 1623–1639.
[5] Mennicken R., M¨oller M. Non-Self-Adjoint Boundary Eigenvalue Problems. Amsterdam – London: Elsevier, 2003. – 500 p.
[6] Olver F. Asymptotics and Special Functions. London–New York:Taylor and Francis, 1997. – 592 p.
[7] Wazow W. Asymptotic Expansions for Solutions of Ordinary Differential Equations. New York-London-Sydney:
Interscience Publishers [John Wiley and Sons, Inc.], 1965. – 384 p.
[8] Heading J. An Introduction to Phase Integral Methods. – London: Methuen and Co., Ltd., 1961. – 160 p.
[9] Darboux G. Sur une proposition relative aux ´equations lin´eaires // C. R. Acad. Sci. Paris. – 1882. Vol. 94. – P. 1456–1459.
[10] Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной квантовой механике // ТМФ. – 1995. – Vol. 104, № 2. – C. 356–367.
[11] Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. // Преобразование Дарбу уравнения Шредингера // ЭЧАЯ. – 1997. – Т. 28. – С. 951–1012. [12] Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. M: Наука, 1980.
[13] Обломков А.А. Безмонодромные операторы Шредингера с квадратично растущим потенциалом // ТМФ. – 1999. – Т.121, № 3. – C. 374–386.
[14] Gibbons J., Veselov A.P. On the rational monodromy-free potentials with sextic growth // J. Math. Phys. – 2009. – Vol.50, № 1. – P. 013513.
[15] Duistermaat J.J. and Gr¨unbaum F.A. Differential equations in the spectral parameter // Commun. Math. Phys. – 1986. – Vol. 103. – P. 177–240.
[16] Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка. – 1977. – 332 с.
[17] Ишкин Х.К. О критерии однозначности решений уравнения Штурма–Лиувилля // Матем. заметки. – 2008. – Т. 84, № 4. – С. 552–566.
[18] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. M.: Мир. – 1970. – 720 c.
[19] Ишкин Х.К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма–Лиувилля на кривой // Матем. заметки. – 2005. Т. 78, № 1. – С. 72–84.
[20] Ишкин Х.К. О критерии безмонодромности уравнения Штурма–Лиувилля // Матем. заметки. – 2013. Т. 94, № 4. – С. 552–568.
[21] Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. – М.–Л.: ГИТТЛ. 1950. – 337 с.
[22] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 528 c.
