Построение характеристического определителя одного типа задач на собственные значения при интегральном возмущении двух краевых условий
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS-2019-4-m2Ключевые слова:
Характеристический определитель, базис Рисса, усиленно регулярные краевые условия, корневые функции, интегральное возмущение краевого условияАннотация
Хорошо известно, что система собственных функций оператора, заданного формально
самосопряженным дифференциальным выражением, с произвольными самосопряженными
краевыми условиями, обеспечивающими дискретный спектр, образует ортонормированный
базис. Во многих работах исследовался вопрос о сохранении свойств базисности при
некотором (слабом в определенном смысле)возмущении исходного оператора. Для случая
произвольного обыкновенного дифференциального оператора, когда невозмущенные краевые
условия являются усиленно регулярными, вопрос об устойчивости свойства базисности
корневых векторов при их интегральном возмущении положительно решен в работах
А.А. Шкаликова. В серии наших предыдущих работ рассматривался вопрос о построении
характеристического определителя и об устойчивости свойства базисности корневых
векторов при интегральном возмущении одного из краевых условий. Были рассмотрены
практически все возможные типы краевых условий, которые являются регулярными,
но не усиленно регулярными. В настоящей работе рассматривается спектральная
задача для оператора кратного дифференцирования при интегральном возмущении
краевых условий одного типа, являющихся регулярными, но не усиленно регулярными.
В отличие от предыдущих работ нами рассматривается случай, когда интегральное
возмущение присутствует в обоих краевых условиях. Первым основным результатом работы
является построение характеристического определителя спектральной задачи. На основании
полученной формулы делаются выводы об асимптотике собственных значений и собственных
функций задачи. Вторым основным результатом работы является обоснование базисности
Рисса системы корневых функций рассматриваемой задачи при интегральном возмущении
двух краевых условий.
Библиографические ссылки
SSSR V.142, no. 3 (1962): 538–541.
[2] Kerimov N.B. and Mamedov K.R., "On the Riesz basis property of the root functions in certain regular boundary value
problems" , Mathematical Notes V. 64, no. 3-4(1998): 483–487.
[3] Makin A.S., "On a nonlocal perturbation of a periodic eigenvalue problem" , Differential Equations 42(2006): 599–602.
[4] Il’in V.A and Kritskov L.V., "Properties of spectral expansions corresponding to non-self-adjoint differential operators" ,
Journal of Mathematical Sciences (New York) V.116, no.5 (2003): 3489—3550.
[5] Shkalikov A.A., "Basis Property of Eigenfunctions of Ordinary Differential Operators with Integral Boundary Conditions" ,
Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mech. 6(1982): 12–21.
[6] Shkalikov A.A., "On the basis problem of the eigenfunctions of an ordinary differential operator" , RussianMath. Surveys
34 (1979): 249-–250.
[7] Imanbaev N.S. and Sadybekov M.A., "Stability of basis property of a type of problems on eigenvalues with nonlocal
perturbation of boundary conditions" , Ufimsk. Mat. Zh. 3(2011): 28–33.
[8] Sadybekov M.A. and Imanbaev N.S., "On the Basis Property of Root Functions of a Periodic Problem with an Integral
Perturbation of the Boundary Condition" , Differential Equations 48(2012): 896–900.
[9] Imanbaev N.S. and Sadybekov M.A., "On spectral properties of a periodic problem with an integral perturbation of the
boundary condition" , Eurasian Mathematical Journal 4(2013): 53–62.
[10] Imanbaev N.S., "On stability of the basis property of the system of root vectors of the Sturm-Liouville operator with
an integral perturbation of the boundary conditions in a not strengthened regular problems of Samarskii-Ionkin type" ,
Matematicheskiy zhurnal 15(2015): 96–107.
[11] Imanbaev N., "Stability of the basis property of system of root functions of Sturm-Liouville operator with integral
boundary condition" , Matematicheskiy zhurnal 16(2016): 125–136.
[12] Sadybekov M.A. and Imanbaev N.S., "On a problem not having the property of basis property of root vectors, connected
with the perturbed regular operator of multiple differentiation" , Matematicheskiy zhurnal 17(2017): 117–125.
[13] Sadybekov M.A. and Imanbaev N.S., "A Regular Differential Operator with Perturbed Boundary Condition" , Mathematical
Notes V. 101, no. 5(2017): 878–887.
[14] Sadybekov M.A. and Imanbaev N.S., "Characteristic determinant of a boundary value problem, which does not have the
basis property" , Eurasian Math. J. 8(2017): 40—46.
[15] Imanbaev N.S. and Sadybekov M.A., "Regular Sturm-Liouville Operators with Integral Perturbation of Boundary
Condition" , Functional Analysis in Interdisciplinary Applications, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics
216(2017): 222—234.
[16] Naymark M.A., "Lineynyye differentsial’nyye operatory Moskva, 1969.
[17] Krall A.M., "The development of general differential and general differential-boundary systems" , Rocky Mountain J.
Math 5(1975): 493—542.
[18] Lang P. and Locker J., "Spectral Theory of Two-Point Differential Operators Determined by -D2" , J. Math. Anal. And
Appl 146(1990): 148–191.
