Сильная неосцилляторность и осцилляторность полулинейного разностного уравнения второго порядка
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS-2019-4-m4Ключевые слова:
полулинейное разностное уравнение, сильная неосцилляторность, весевое дискретное неравенство Харди, последовательность чисел, дискретный оператор, дискретность спектораАннотация
Настоящая статья посвящена исследованию признаков сильной осцилляторности и неосцил-
ляторности одного класса квазилинейных и линейных разностных уравнений второго поряд-
ка. К вопросу осцилляционных свойств разностных уравнений посвящены достаточно много
статей, монографии и книг. Более сильно исследованы линейные, квазилинейные разностные
уравнения второго порядка с различными методами. Среди разнообразных методов иссле-
дования осцилляционных свойств дифференциальных и разностных уравнения имеются два
основных метода, один из которых называется "техника Риккати исходящий из теории ли-
нейных дифференциальных и разностных уравнений, а другой "вариационный принцип"или
просто "вариационный метод". В большинстве работ, посвященных к осцилляционным свой-
ствам дифференциальных и разностных уравнении, используются техника Риккати. Это свя-
зано тем, что в вариационном методе задача сводится к исследованию выполнения некото-
рого весового неравенства на множестве финитных последовательности, который является
не менее сложная задача. В данной работе используя результаты авторов по весовым нера-
венствам Харди в разностной форме и на основе вариационного принципа получены раз-
личные необходимые и достаточные условия сильной осцилляторности и неосцилляторности
для двухчленного полулинейного и линейного разностного уравнения второго порядка. Как
приложение полученных результатов даны критерии ограниченности снизу и дискретности
спектра одного одночленного разностного оператора второго порядка.
Библиографические ссылки
303-321.
[2] Alimagambetova A.Z., Oynarov R. "Kriterii ostsillyatornosti i neostsillyatornosti polulineynogo raznostnogo uravneniya
vtorogo poryadka [Oscillator and non-oscillator criteria for a second-order nonlinear difference equation]" , Matematicheskiy
zhurnal Vol. 7, No 1 (23) (2007): 15-24.
[3] Alimagambetova A.Z., Oynarov R. "Dvuhstoronnie otsenki dlya resheniy odnogo klassa nelineynyih raznostnyih uravneniy
vtorogo poryadka [Bilateral estimates for solutions of one class of second-order nonlinear difference equations]" ,
Matematicheskiy zhurnal Vol. 8, No 3(29) (2008): 12-21.
[4] Hasil P., Vesely M. "Oscillation constants for half-linear difference equations with coefficients having mean values"Advances
in difference equations V. 2015:20 (2015) – doi: http://dx.doi.org/10.11861313662-015-0544-1.
[5] Jiang J., Tang X. "Oscillation of second order half-linear difference equations (I)"Applied Math. Sciences V. 8, No. 40
(2014): 1957-1968.
[6] Rehak P. "Comparision theorems and strong oscillation in the half-linear discrete oscillation theory"Rocky Mountain J.
Math. V. 33, No. 1 (2003): 333-352.
[7] Kalybay A., Karatayeva D., Oinarov R., Temirkhanova A. "Oscillation of a second order half-linear difference
equation and the discrete Hardy inequality Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. No. 43 (2017): 1-16. – doi:
http://dx.doi.org/10.14232/ejqtde.2017.1.43.
[8] Dosly O., Rehak P. Half-linear differential equations V. 202 (North-Holland, Math. Studies, 2005): 517.
[9] Agarwal R.P. "Difference equations and inequalities, second ed."Pure Appl. Math. Dekker. New York. Vol. 228 (2000).
[10] Ahlbrand C.D., Peterson A.C. Discrete Hamiltonion Systems: Difference equations, Continued Fractions, and Riccati
equations (Kluwer Academic Publishers, Boston, 1996).
[11] Bihari I. "An oscillation theorem concerning the half-linear differential equation of the second order"Publ. Math. Ins.
Hunger. Acad. Sci. A 8 (1964): 275–280.
[12] Mirzov J.D. "On some analogs of Sturm’s and Kneser’s theorems for nonlinear systems"J. Math. Anal. Appl. Vol. 53 (1976):
418-425.
[13] Elbert A. "A half linear second order differential equations"Colloq. Math. Soc. Janos Bolayi Vol. 30 (1979): 158-180.
[14] Sturm C. "Sur les equations differentielles lineaires du second ordre"J.Math. Pures. Appl. 1 (1836): 106-186.
[15] Sansone G. Equazioni diferenziali nel campo reale I, II (Zanichelli, Bologna, 1949).
[16] Diaz J.I. Nonlinear partial differential equations and free boundaries Vol I, Elleptic Equations (Pitman, London, 1985).
[17] Glazman N.M. Pryamyie metodyi kachestvennogo spektralnogo analiza singulyarnyih differentsialnyih operatorov [Direct
methods for the qualitative spectral analysis of singular differential operators] (M.: Fizmatgiz, 1963): 340.
[18] Bennett G. "Some elementary inequalities"Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 38, No. 152 (1987): 401-425.
[19] Bennett G. "Some elementary inequalities II"Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 39, No. 156 (1988): 385-400.
[20] Bennett G. "Some elementary inequalities III"Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 42, No. 166 (1991): 149-174.
[21] Oinarov R. and Rakhimova S.Y. "Weighted Hardy inequalities and their application to oscillation theory of half-linear
differential equation"Eurasian Math. J., Kazakhstan V.1, No. 42 (2010): 110–124.
[22] Oinarov R. and Rakhimova S.Y. "Oscillation and nonoscillation of two terms linear and half-linear equations of higher
order"E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., Hungary No. 49 (2010): 1-15.
[23] Kufner А., Maligranda L. and Persson L-E. "The Hardy Inequality. About its History and Some Related Results
Vydavatelsk´y servis (2007): 161.
