К решению уравнения теплопроводности с дробной нагрузкой
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS-2019-4-m6Ключевые слова:
нагрузка, дробная производная, уравнение ВольтерраАннотация
В работе исследуются проблемы разрешимости неоднородной краевой задачи
в первом квадранте для дробно-нагруженного уравнения теплопроводности. Особенностью
рассматриваемой задачи является то, что, во-первых, нагруженное слагаемое представлено
в форме дробной производной Капуто по временной переменной, во-вторых, порядок про-
изводной в нагруженном слагаемом меньше порядка дифференциальной части и, в-третьих,
точка нагрузки является движущейся (с постоянной или переменной скоростями). Обраще-
нием дифференциальной части задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второ-
го рода, ядро которого содержит функцию параболического цилиндра. Произведена оценка
ядра полученного интегрального уравнения и показано, что ядро уравнения имеет слабую
особенность (при определенных ограничениях на нагрузку), что является основанием для
утверждения, что нагруженное слагаемое в уравнении является слабым возмущением его
дифференциальной части. Кроме того, исследованы предельные случаи порядка дробной
производной. Доказано, что по порядку дробной производной имеет место непрерывность
справа. Непрерывность слева нарушается. Результаты статьи могут оказаться полезными
при исследовании дробно-нагруженных уравнений теплопроводности в случае, когда нагру-
женное слагаемое представлено в форме дробной производной Капуто по пространственной
переменной.
Библиографические ссылки
(1995): 205.
[2] Nakhushev A.M. "Nagruzhennye uravnenija i ih prilozhenija [Loaded equations and their applications]" , Diff. equations
vol. 19, no 1 (1983): 86-94.
[3] Nakhushev A.M. "O zadache Darbu dlja odnogo vyrozhdajushhegosja nagruzhennogo integro - differencial’nogo uravnenija
vtorogo porjadka [The Darboux problem for a certain degenerate second order loaded integrodifferential equation]" , Diff.
equations vol. 12, no 1 (1976): 103-108.
[4] Dzhenaliev M.T. "K teorii linejnyh kraevyh zadach dlja nagruzhennyh differencial’nyh uravnenij [On the theory of linear
boundary value problems for loaded differential equations]" , Almaty: ITPM Computer Center (1995): 270.
[5] Dzhenaliev M.T. "O nagruzhennyh uravnenijah s periodicheskimi granichnymi uslovijami [On loaded equations with
periodic boundary conditions]" , Diff. equations vol. 37, no 1 (2001): 48-54.
[6] Dzhenaliev M.T. "Ob odnoj kraevoj zadache dlja linejnogo nagruzhennogo parabolicheskogo uravnenija s nelokal’nymi
granichnymi uslovijami [About Boundary Value Problem for Linear Loaded Parabolic Equation with Non-local Boundary
Conditions]" , Diff. equations vol. 27, no 10 (1991): 1825-1827.
[7] Dzhenaliev M.T., Ramazanov M.I. "Nagruzhennye uravnenija - kak vozmushhenija differencial’nyh uravnenij [Loaded
equations as perturbations of differential equations]" , Almaty: Gylym (2010): 334.
[8] Oldham K.B., Spanier J. "The Fractional Calculus" , New York-London: Academic Press (1974).
[9] Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. "Integraly i proizvodnye drobnogo porjadka i nekotorye ih prilozhenija [Integrals
and derivatives of fractional order, and some applications]" , Minsk: Nauka i tehnika (1987): 688.
[10] Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. "Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications" , New York:
Gordon and Breach (1993): 1006.
[11] Nakhushev A.M. "Jelementy drobnogo ischislenija i ih prilozhenija [Elements of fractional calculus and their applications]" ,
Nal’chik: NII PMA KBNC RAN, (2000): 298.
[12] Le Mehaute A., Tenreiro Machado J.A., Trigeassou J.C., Sabatier J. "(eds.) Fractional Differentiation and its
Applications" , Bordeaux: Bordeaux Univ, (2005).
[13] Pskhu A.V. "Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo porjadka [Partial differential equations of fractional order]" ,
M.: Nauka, (2005): 199.
[14] Gekkieva S.Kh. "Kraevye zadachi dlja nagruzhennyh parabolicheskih uravnenij s drobnoj proizvodnoj po vremeni: avtoref.
... kand. fiz.-mat. nauk:.01.01.02 [Boundary value problems for loaded parabolic equations with a fractional time derivative:
author. ... cand. Phys.-Math. Sciences: .01.01.02]" , Nal’chik: NII PMA KBNC RAN, (2003): 14.
[15] Kerefov A.A., Shkhanukov-Lafishev M.Kh., Kuliev R.S. "Kraevye zadachi dlja nagruzhennogo uravnenija teploprovodnosti
s nelokal’nymi uslovijami tipa Steklova //Neklassicheskie uravnenija matematicheskoj fiziki: trudy seminara,
posvjashhennogo 60-letiju professora V.N. Vragova [Boundary value problems for the loaded heat equation with nonlocal
conditions of Steklov type // Non-classical equations of mathematical physics: proceedings of a seminar dedicated
to the 60th anniversary of Professor V.N. Vragov]" , Novosibirsk: Izd-vo IM, (2005): 152-159.
[16] Caputo M. "Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent - II" , Geophys. J. Astronom. Soc.,
vol. 13 (1967): 529-539.
[17] Caputo M. "Elasticita e Dissipazione" , Bologna: Zanichelli, 1969.
[18] Polyanin A.D. "Spravochnik po linejnym uravnenijam matematicheskoj fiziki [Handbook of linear equations of
mathematical physics]" , M.: FIZMATLIT, (2001): 576.
[19] Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. "Integraly i rjady. T.1. Jelementarnye funkcii. — 2-e izd [Integrals and
series. V.1. Elementary functions. - 2nd ed.]" , M.: FIZMATLIT, (2002): 632.
[20] Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. "Table of Integrals, Series, and Products / Seventh Edition" , New York: AP, (2007): 171.
