О непрерывных решениях модельного однородного уравнения Бельтрами с полярной особенностью
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2020.v105.i1.02Ключевые слова:
уравнение Бельтрами, уравнение с полярной особенностьюАннотация
Настоящая работа состоит из двух частей. Первая часть посвящена исследованию модельного
уравнения Бельтрами с полярной особенностью в круге с центром в начале координат,
с разрезом вдоль положительной полуоси. Коэффициенты рассматриваемого уравнения
имеют полюс первого порядка в начальной точке координат и не принадлежат даже
классу L 2 ( G ) . По этой причине, несмотря на свой специфический вид это уравнение не
охватывается аналитическим аппаратом И.Н. Векуа [1] и нуждается в самостоятельном
исследовании. Используя методику разработанной А.Б.Тунгатаровым [2] в сочетании с
методами теории функций комплексного переменного [3] и функционального анализа [4]
получены многообразия непрерывных решений модельного уравнения Бельтрами с полярной
особенностью. Теория этих уравнений имеет многочисленные приложения в механике и
физике. Во второй части статьи возникшие произвольные постоянные подобраны так, чтобы
построенные решения были непрерывны в круге без разреза [5]. Эти результаты могут быть
использованы в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны
с точкой уплощения и при построении сопряженно изометрической системы координат на
поверхности положительной кривизны с точкой уплощения [6].
Библиографические ссылки
2. Tungatarov A.B. On a method for constructing continuous solutions of the Carleman-Vekua equation with a singular point // Differential Equations. -1992. T.28, No. 8. S.1427-1434.
3. Titchmarsh E. (Titchmarsh E.C.) Theory of functions. -M .: –Science, 1980. –P.464.
4. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of function theory and functional analysis. -M.: –Science, 1976. –P.544.
5. Usmanov Z.D. On infinitesimal bendings of surfaces of positive curvature with an isolated flat point // Mat.collection.- 1970. –V.83(125):4(12).- P.596-615.
6. Usmanov Z.D. On a class of generalized Cauchy-Riemann systems with a singular point // Sib. math. journal. -1973.-V.14. № 5, P. 1076-1087.
7. Vekua I.N. Systems of differential equations of an elliptic type and boundary problems with application to the theory of shells // Matem.sb.- 1952. –T.31 (73), No. 2. -C.234-314.
8. Vekua I.N. Fixed points of generalized analytic functions // DAN SSSR. - 1962. –T.145, No. 1. –S.24-26.
9. Vekua I.N. Fundamentals of tensor analysis and covariant theory. -M .: –Science, 1978. –P.296.
10. Bliev N.K. Generalized analytic functions in fractional spaces, –Alma-Ata. Science, [In Russian],1985, p. 159.
11. Generalized analytic functions in the fractional space, 1997, USA, Addison Wesleu Longhmah Juc. Pitman Monographs, № 86.
12. Otelbaev M.O. Ospanov K.N. On a generalized Cauchy-Riemann system with nonsmooth coefficients // Izv.vuzov.Mathematika.-1989.- No. 3.
13. Tungatarov A.B. Properties of an integral operator in classes of summable functions, Izv. SSR. Ser. Phys.-Math. 132 (5), 58–62 (1985).
14. Abreu-Blaya R., Bory-Reyes J., and Pena-Pena D. On the jump problem for β-analytic functions,Complex Variables and elliptic equat. 51 (8–11), 763–775 (2006).
15. Abreu-Blaya R., Bory-Reyes J., and Vilaire J.-M. A jump problem for β-analytic functions in domains with fractal boundaries, Revista Matem. Complutense 23, 105–111 (2010).
16. Abreu-Blaya R., Bory-Reyes J., and Vilaire J.-M. The Riemann boundary value problem for β-analytic functions over D-summable closed curves, International J. of Pure and Appl. Math. 75 (4), 441–453 (2012).
17. Usmanov Z.D. Infinitesimal bending of surfaces of positive curvature with a flat point // Differential Geometry. Banach Center Publications. Warsaw. -1984. –V.12 –P.241-272.
18. Tungatarov A.B. On a Carleman-Vekua equation with a polar singularity // Bulletin of KazGU. Ser.Mat. 1995. No. 3. -S.145-159.
19. Bliev N.K., Tungatarov A.B. On a generalized Cauchy-Riemann system with a singular point // Differential equations and their applications. –Alma-Ata. Science, 1975.
20. Kasymova D.E. The study of solutions of elliptic systems in the plane with a singular point: Abstract of thesis. ... candidate of physical and mathematical sciences. –Almaty, 1999.
21. Markushevich A.I. Selected chapters of the theory of analytic functions -Science, -M., 1976.
22. Bitsadze A.V. Fundamentals of the theory of analytic functions of a complex variable. –M .: Nauka, 1984. –P.320.
23. Katz D.B. Marcinkiewicz exponents and the jump problem for the Beltrami equation // News of Universities. Maths.2017, № 6, P. 44–51 http://kpfu.ru/science/nauchnye-izdaniya/ivrm/
24. Katz B.A. The Riemann problem on a closed Jordan curve, Izv. universities. Mat., No. 3, 68–80 (1984)
25. Drozhzhinov Yu.N., Zavialov B.I. Introduction to the theory of generalized functions. Mat. inst. them. Steklova V.A., RAS, -M.: 2006.
