Некоммутативный максимальный оператор Харди-Литтлвуда в некоммутативных пространствах Лоренца
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2020.v106.i2.03Ключевые слова:
Оператор Чезаро, максимальный оператор Харди-Литтлвуда, пространства ЛоренцаАннотация
В данной работе мы исследуем некоммутативный максимальный оператор Харди-Литтлвуда в симметричных пространствах $\tau$-измеримых операторов. Некоммутативные максимальные неравенства были рассмотрены, в частности, в \cite{MJ1, JQ, TM}. Другая версия некоммутативного максимального оператора Харди-Литтлвуда представлена Т. Бекжаном \cite{TB}. Позже Дж. Шао занимался исследованиями максимального оператора Харди-Литтлвуда в некоммутативных пространствах Лоренца ассоциацированной с ограниченной безатомной алгеброй фон Неймана \cite{Sh}. А именно, для оператора $T,$ аффилированного с полуограниченной алгеброй фон Неймана $M,$ максимальный оператор
Харди-Литтлвуда определяется как
$$MA(x)=\sup\limits_{r>0}\frac{1}{\tau\left(E_{[x-r, x+r]}\left(|A|\right)\right)}\tau\left(|A|E_{[x-r, x+r]}\left(|A|\right)\right),
\,\,x\geq0.$$
В то время как классический максимальный оператор Харди-Литтлвуда измеримых по Лебегу функций $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},$ обозначаемый через $Mf(x),$ определяется как $$Mf(x)=\sup\limits_{r>0}\frac{1}{m([x-r, x+r])}\int\limits_{[x-r,x+r]}|f(t)|dt$$
где $m$--мера Лебега \cite{SW}. С точки зрения спектральной теории, $|A|$ представим в виде $$|A|=\int_{\sigma(|A|)}tdE_{t},$$ а $MA(|A|)$ представим в виде $MA(x).$ Таким образом, для оператора $A,$ рассуждение Т. Бекжана говорит о том, что $MA(|A|)$ определяется как аналог максимального оператора Харди-Литтлвуда в классическом случае \cite{TB}. Нашей целью является исследовать некоммутативный максимальный оператор $M$ в смысле Т. Бекжана. В частности, мы получим ограниченность некоммутативного максимального оператора Харди-Литтлвуда в некоммутативных пространствах Лоренца.
Библиографические ссылки
[2] M. Junge, Q. Xu, "Non-commutative maximal ergodic theorems", J. Am. Math. Soc. Vol. 20, No 2 (2007): 385 439.
[3] T. Mei, "Operator valued Hardy spaces", Mem. Am. Math. Soc. Vol. 188, No 881 (2007): 64.
[4] T. N. Bekzhan, "Hardy-Littlewood maximal function of r-measurable operators", J. Math. Anal. Appl. 322 (2006): 87-96.
[5] J. Shao, "Hardy-Littlewood maximal function on noncommutative Lorentz spaces", Journal of Inequalities and Applica-
tions. (2013): 384.
[6] S. Krein, Y. Petunin and E. Semenov, Interpolation of linear operators (Amer. Math. Soc. : Providence, R.I., 1982), 375.
[7] C. Bennett and R. Sharpley, Interpolation of Operators (Pure and Applied Mathematics: 129, Academic Press, 1988),
469.
[8] L. Grafakos, Classical Fourier analysis (Springer: 2nd ed. , 2008), 638.
[9] S. Lord, F. Sukochev and D. Zanin, Singular traces. Theory and applications (Berlin: De Gruyter Studies in Mathenatics.
De Gruyter, 2013), 452.
[10] E. Stein and G. Weiss, Introdunction to Fourier analysis on Euclidean spaces ( Princeton: Princeton University Press,
1971), 312.
[11] J. Soria and P. Traducere, "Optimal rearrangement invariant range for Hardy-type operators", Proc. ofthe Royal Soc. of
Edinburgh. 146A (2016): 865-893.
[12] J. Soria and P. Tradacete, "Characterization of the restricted type spaces R(X)", Math. Ineq. Applic. 18 (2015): 295-319.
[13] T. Fack and H. Kosaki, "Generalized s-numbers of r-measurable operators", Pacific J. Math. 123, 2 (1986): 268-300.
[14] Y. Nessipbayev and K. Tulenov, "The non-commutative Hardy-Littlewood maximal function on symmetric spaces of
T-measurable operators [electronic resource]", (2020). arXiv: 2002.04413.
