О новой нелокальной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа
Кілттік сөздер:
нелокальные граничные условия, уравнение параболо-гиперболического типа, функция Грина, сильное решениеАннотация
В настоящей работе сформулирована новая нелокальная краевая задача для уравнения сме-
шанного типа. Рассматривается уравнение параболо-гиперболического типа. Его относят к
первому роду потому, что линия изменения типа не является характеристикой уравнения.
Нелокальное условие связывает между собой точки на границах параболической части об-
ласти и гиперболической части области. Эта задача является обобщением хорошо известных
задач типа Франкля. При ее решении возникает краевая задача для уравнения теплопровод-
ности с условиями типа Самарского-Ионкина. В отличие от имеющихся публикаций других
авторов, близких по тематике, необходимо отметить, что в этих работах нелокальные задачи
рассматривались в прямоугольных областях. В нашей же постановке задачи гиперболическая
часть области совпадает с характеристическим треугольником. Сформулированная задача
эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Доказана
однозначная сильная разрешимость сформулированной задачи.
Библиографиялық сілтемелер
[2] Kapustin N.Yu. The existence and uniqueness of L 2 –solutions of Tricomi problem for a parabolic-hyperbolic equation // Doklady Akademii Nauk SSSR. – 1986. – Т. 291, No 2. – С. 288 – 292.
[3] Berdyshev A.S. Kraevye zadachi i ih spektral’nye svoistva dlya uravneniya smeshannogo parabolo-giperbolicheskogo i smeshanno-sostavnogo tipov. – Almaty. – 2015. – 224 p. (in Russ.).
[4] Frankl F. To the theory of the Laval nozzle // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. — 1945. – Т. 9, No 2. – P. 121 – 142.
[5] Frankl F.I. Subsonic flow about a profile with a supersonic zone // Prikl. Mat. Mekh. – 1956. – Т. 20, No 2. – P. 196 – 202.
[6] Rakhmanova L.Kh. Solution of a nonlocal problem for a mixed-type parabolic-hyperbolic equation in a rectangular domain by the spectral method // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. – 2007. – No 11 (546). – P. 36 – 40.
[7] Sabitov K.B., Rakhmanova L.K. Initial-boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type in a rectangular domain // Differential Equations. – 2008. – Т.44, No 9. – P. 1175 – 1181.
[8] Sabitov K.B. Nonlocal Problem for a Parabolic-Hyperbolic Equation in a Rectangular Domain // Mat. Zametki. – 2011. – Т. 89, No4. – P. 596 – 602.
[9] Moiseev E.I., Nefedov P.V., Kholomeeva A.A. Analogs of the Tricomi and Frankl problems for the Lavrent’ev-Bitsadze equation in three-dimensional domains // Differential Equations. – 2014. – Т. 50, No 12. – С. 1677 – 1680.
[10] Nakhushev A.M. Problems with displacements for partial differential equations. -– Nauka, Moscow. — 2006.
[11] Ionkin N.I. Solution of a boundary value problem with non-classical boundary condition in heat conduction theory // Differential Equations. – 1977. – Т.13, No 2. – P. 294 – 304.
[12] Ionkin N.I., Moiseev E.I. A problem for the heat conduction equation with two-point boundary condition // Differential Equations. – 1979. – Т.15, No 7. – P. 1284 – 1295.
[13] Dildabek G., Tengayeva A.A. Constructing a basis from systems of eigenfunctions of one not strengthened regular boundary value problem // ВVestnik KаzNU, ser. mаt., meh., inf. – 2015. – No 1(84). – P. 36 – 44.
[14] Babich V.M. et al., Mihlin S.G. Ed. Linear equations of mathematical physics // Ref. Math. Library. – Nauka, Moscow. – 1964.
[15] Sadybekov M.A., Toizhanova G.D. Spectral properties of a class of boundary value problems for a parabolic-hyperbolic equation // Differential Equations. – 1992. – Т. 28, No 1. – P. 176 – 179.
[16] Berdyshev A.S. The volterra property of some problems with the Bitsadze–Samarskii-type conditions for a mixed parabolic-hyperbolic equation // Sibirsk. Mat. Zh. – 2005. – Т. 46, No3. — P. 500 – 510.
[17] Akhtaeva N.S., Karimov E.T. A boundary value problem with adjointing condition of integral type for mixed parabolic-hyperbolic equations with non-characteristic line type change // Vestnik KаzNU, ser. mаt., meh., inf. – 2013. – No 2(77). – P. 64 – 70.
