Ректракты группы унитреугольных матриц над кольцом

Аннотация

Ретрактом группы G называется такая её подгруппа H, для которой существует эндоморфизм φ : G → H, тождественный на H. Это понятие идет из топологии. Описание ретрактов для важных классов групп представляет актуальную задачу. В абелевых группах прямые множители исчерпывают все множество ретрактов. В общем случае проблема описания ретрактов гораздо сложнее. Доказано, что уже в классе конечно порожденных нильпотентных групп ступени нильпотентности два проблема определения, является ли ретрактом заданная конечным множеством порождающих элементов подгруппа, алгоритмически неразрешима. В данной работе получено необходимое и достаточное условие ретрактности абелевой подгруппы группы унитреугольных матриц произвольной размерности над кольцом целых чисел. Также доказано, что любой ретракт группы унитреугольных матриц размерности три над кольцом, аддитивная группа которого локально циклична, изоморфен этой аддитивной группе. Отсюда в качестве следствия вытекает, что существует алгоритм, который по любой подгруппе группы всех унитреугольных матриц размерности три определяет, является ли данная подгруппа ретрактом или нет. Также установлено существование алгоритма, который по любому ретракту такой группы определяет, является ли данный ретракт трансвекционным или существенно стандартным. Доказана вычислимость любого ретракта разрешимой группы без кручения конечной размерности, изолятор коммутанта которой совпадает с коммутантом. Отсюда, в частности, следует, что любой ретракт группы всех треугольных матриц любого конечного размера с положительными диагональными элементами над полем рациональных чисел вычислим.