Об одном примере к теореме Боаса
Кілттік сөздер:
коэффициенты Фурье, монотонные функции α-монотонные функции, пространства Лоренца, дробный интегралАннотация
В этой работе изучается связь между суммируемостью заданной числовой последовательности, стремящейся к нулю, и интегрируемостью соответствующего ей тригонометрического ряда. Точнее, в статье рассматривается вопрос об обобщении теоремы Боаса о коэффициентах Фурье монотонных функций. Согласно указанной теореме норма монотонной функции в пространстве Лоренца L_p,q[0, 1], 1 < p < ∞ , 1 ≤ q ≤ ∞ эквивалентна норме последовательности коэффициентов Фурье функции в дискретном пространстве Лоренца l_p′,q, где p ′ = p/p−1. Для заданного 0 < α ≤ 1 введен класс α-монотонных функций, содержащий класс абсолютно непрерывных, невозрастающих функций. α -монотонная функция определяется как функция, обладающая абсолютно непрерывным, невозрастающим правосторонним дробным интегралом Римана-Лиувилля порядка 1 − α . Вопрос о возможности обобщения теоремы Боаса на класс α-монотонных функций представляет для нас большой интерес. В работе построен пример α -монотонной функции, который показывает, что теорема Боаса неверна для α-монотонных функций в случае p < 1/α. Из этого вытекает, что теорему Боаса для α-монотонных функций стоит исследовать в случае p ≥ 1/α.
Библиографиялық сілтемелер
[2] Zygmund A. Trignometrisheskie ryady, T. 1,2 - Moskwa:Mir, 1965.
[3] Boas R.P. Jr. Integrability theorems for trigonometric transforms - New-York: Springer, 1967.
[4] Sagher Y. An application of interpolation theory to Fourier series // Stud. Math. - 1972. - 41. - P. 169-181.
[5] Nursultanov E.D. Interpolation properties of some anisotropic spaces and Hardy-Littlewood type inequalities // East J. Approx. - 1998. - V. 4, 2. - P. 243-275.
[6] Tikhonov S.Yu. Trigonometric series with general monotone coefficients // J. Math. Anal. Appl. - 2007. - V. 326, 1. - P. 721-735.
[7] Dyachenko M., Tikhonov S. Integrability and continuity of functions represented by trigonometric series: coefficients criteria // Stud. Math. - 2009. - V. 193, 3. - P. 285-306.
[8] Dyachenko M.I. Kusoshno monotonnye funccii mnogikh peremennyh i teorema Hardy-Littlewooda // Izv. AN SSSR. Ser. matem. - 1991. - Ò. 55, 6. - C. 1156-1170.
[9] Dyachenko M.I., Nursultanov E.D. Teorema Hardy-Littlewooda dlya trigonometricheskih ryadov s α -monotonnymi koefficientami // Matem. sb. - 2009. - Ò. 200, 11. - C. 45-60.
[10] Nursultanov E., Tikhonov S. Net spaces and boundedness of integral operators // J. Geom. Anal. - 2011. - V. 21, 4. - P. 950-981.
[11] Booton B. General monotone sequences and trigonometric series // Math. Nachr. - 2014. - V. 287, Is. 5-6. - P. 518-529.
[12] Dyachenko M.I. Trigonometricheskie ryady s obobshenno-monotonnymi koefficientami // Izv. vuzov. Matem.- 1986. - 7. - P. 39-50.
[13] Dyachenko M.I. Teorema Hardy-Littlewooda dlya trigonometricheskih ryadov s obobshenno-monotonnymi koefficientami // Izv. vuzov. Matem. - 2008. - 5. - P. 38-47.
[14] Sagher Y. Some remarks on interpolation of operators and Fourier coefficients // Stud. Math. - 1972. -o 44. - P. 239-252.
[15] Kopezhanova A.N., Nursultanov E.D., Persson L.-E. O neravenstvah dlya preobrazovanii Fourier funccii iz prostranstv Lorentza // Matem. zametki. - 2011. - T. 90, 5. - P. 785-788.
[16] Samko S.G., Kilbas À.À., Marichev Î.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ih prilojeniya - Minsk: Nauka i technika, 1987. - 688 p.