Построение разрушающих решений модифицированного уравнения Веселова-Новикова с помощью поверхности Эннепера второго порядка
Кілттік сөздер:
оператор Дирака, модифицированное уравнение Веселова-Новикова, преобразование Мутара, разрушающие решения, поверхность ЭннепераАннотация
В данной статье построены разрушающие решения модифицированного уравнения Веселова-Новикова (являющегося двумеризацией модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза) с помощью инверсий минимальной поверхности Эннепера второго порядка. И эти решения имеют сингулярность в одной точке пространства-времени, аналогично работе [1]. Алгоритм решения модифицированного уравнения Веселова-Новикова был приведен в работе [2], и в работе [3] была получена геометрическая интерпретация преобразования Мутара. Оно задается решением уравнения Дирака Dψ = 0 и тремя вещественными константами. И любое решение этого уравнения определяет поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, заданную с точностью до сдвигов, с помощью представления Вейерштрасса. Фиксируя три константы, мы полностью фиксируем поверхность. На этой поверхности задается конформный параметр, и потенциал U оператора Дирака является потенциалом представления этой поверхности. Применив к этой поверхности инверсию с центром вначале координат, мы получаем новую поверхность с тем же самым конформным параметром и новым потенциалом.Оказывается, что потенциал инверсированной поверхности и есть в точности потенциал, построенный с помощью преобразования Мутара по указанным данным [3]. В результате данной статьи этот потенциал был построен (теорема 1) для неизвестных пока решений линейной системы уравнений (8) с помощью алгоритма преобразования Мутара; была получена геометрическая интерпретация преобразования Мутара на примере поверхности Эннепера второго порядка, т.е. для явных решений данной линейной системы уравнений найдены потенциалы (теорема 2), которые удовлетворяют модифицированному уравнению Веселова-Новикова.
Библиографиялық сілтемелер
[2] Delong Yu, Q.P. Liu, and Shikun Wang Darboux transformation for the modified Veselov-Novikov equation. // J. of Physics A 35 (2001), 3779-3785.
[3] Taimanov, I.A. The Moutard transformation of two-dimensional Dirac operators and the Mobius geometry.// Math. Notes 97:1 (2015), 124–135.
[4] Bogdanov L.V. Veselov-Novikov equation as a natural two-dimensional generalization of the Korteweg-de Vries equation.// Theor. Math. Phys. 70 (1987), 309-314.
[5] Bogdanov L.V. About two dimensional Zakharav-Shabat problem.// Theor. Math. Phys.,72:1 (1987), 155-159.
[6] Manakov S.V. Method of inverse scattering and two-dimensional evolution equations. // Uspekhi matematicheskikh nauk 31 (5) (1976), 245-246. (Russian).
[7] I. A. Taimanov Modified Novikov-Veselov equation and differential geometry of surfaces.// Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179 (1997), 133-151.
[8] Taimanov, I.A. Two-dimensional Dirac operator and the theory ofsurfaces. // Russian Math. Surveys 61 (2006), no. 1, 79-159.