Cингулярлы ауытқыған интегралды-дифференциалдық теңдеулерге арналған шеттiк есеп шешiмiнiң асимптотикалық бағалауы
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2020.v106.i2.04Кілттік сөздер:
сингулярлы ауытқу, кiшi параметр, бастапқы секiрiс, асимптотикалық бағалауАннотация
Үлкен туындыларының алдында кiшi параметрлерi бар дифференциалдық және интегралды-дифференциалдық теңдеулер физика, астрофизика, химия, биология, механика және техникадағы көптеген үрдiстердiң математикалық модельдерi болып табылады. Қазiргi уақытта мұндай теңдеулердi сингулярлы ауытқыған деп атау қабылданған. Мақалада қосымша сипаттауыш теңдеуiнiң¿ түберлерi терiс, ал шекаралық шарттарында кiшi ауытқымалы мүшелерi бар ең үлкен екi туындыларының алдында кiшi параметрлерi бар үшiншi реттi сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшiн екi нүктелi шеттiк есеп қарастырылады. Зерттеудiң мақсаты шешiмнiң асимптотиқалық бағалауын алу және тозғындалған кезде түсiп қалатын қосымша шарттар берiлген нүктелердiң маңайында шешiмнiң асимптотикалық сипатын анықтау болып табылады. Жұмыс барысында сингулярлы ауытқыған бiртектi дифференциалдық теңдеу үшiн қойылған шеттiк есептiң шекаралық функциялары құрылды және олардың асимптотикалық бағалауы алынды. Шекаралық функциялардың және Коши функциясының көмегiмен шеттiк есеп шешiмнiң аналитикалық формуласы алынды. Қарастырылып отырған шеттiк есеп шешiмiнiң асимптотикалық бағалауы туралы теорема дәлендендi. Кiшi параметр бойынша шешiмнiң асимптотикалық сипаты және туындыларының өсу ретi анықталды. Қарастырылып отырған шеттiк есеп шешiмiнiң берiлген аралықтың сол жақ шетiнде бiрiншi реттi бастапқы секiрiсiнiң бар екенi көрсетiлдi. Бастапқы секiрiстi дифференциалдық және интегралды- дифференциалдық теңдеулер саласындағы басқа ұқсас жұмыстармен салыстырғанда берiлген шеттiк есеп шешiмiнiң асимптотикалық қасиеттерiндегi ерекшелiктер көрсетiлдi. Алынған нәтижелер сингулярлы ауытқыған интегралды-дифференциалдық теңдеулерге арналған шеттiк есептер шешiмiнiң кiшi параметрдiң кез-келген дәрежесi бойынша дәлдiкпен бiрқалыпты асимптотикалық жiктелуiн құруға мүмкiндiк бередi.
Библиографиялық сілтемелер
[2] K.A. Kasymov. "Ob asimptotike resheniya zadachi Koshi s bol’shimi nachal’nymi usloviyami dlya nelinejnogo oby- knovennogo differencial’nogo uravneniya, soderzhashchego malyj parameter [On the asymptotic behavior of the solution of the Cauchy problem with large initial conditions for a nonlinear ordinary differential equation containing a small parameter]" , Uspekhi matematicheskih nauk. vol. 5, no 17 (1962): 187-188.
[3] K.A. Kassymov, D. Nurgabyl "Asymptotic Estimates of Solution of a Singularly Perturbed Boundary Value Problem with an Initial Jump for Linear Differential Equations" , Differential Equations. vol. 40, no 5 (2004): 641-651.
[4] Dauylbayev M.K. and Atakhan N. "The initial jumps of solutions and integral terms in singular BVP of linear higher order integro-differential equations" , Miskolc Math. Notes, Hungary. vol. 16, no 2 (2015): 747-761.
[5] Vasil’eva, A., Butuzov,V., and Kalachev, L. "The boundary function method for singular perturbation problems, SIAM Studiesin Applied Mathematics" , Philadeplhia: SLAM, 1995.
[6] A.H. Nayfeh "Perturbation Methods" , USA: Wiley-Interscience, 2000.
[7] O’Malley, Robert E. "Historical Developments in Singular Perturbations" , Switzerland: Springer International Publishing, 2014.
[8] Mudvanhu, B and O’Malley, R. E., Jr. "A new renormalization method for the asymptotic solution of weakly nonlinear vector systems" , SIAM J. Appl. Math. vol. 63, no 2 (2002): 373-397.
[9] Kevorkian, J. and Cole, J.D. "Multiple Scale and Singular Perturbations Method" , New York: Springer, 1996.
[10] Sanders, J. A. and Verhulst, F. and Murdock, J. "Averaging Methods in Nonlinear Dynamical Systems" , 2nd Ed. New York: Springer-Verlag, 2007.
[11] Verhulst, F. "Methods and applications of singular perturbations: Boundary layers and multiple timescale dynamics" ,
Texts in Applied Mathematics. New York: Springer, 2005.
[12] D.R. Smith "Singular-Perturbation Theory an Introduction with Applications" , Cambridge: University Press, 2009.
[13] White, R. B. "Asymptotic Analysis of Differential Equations" , London: Imperial College Press, 2005.
[14] A.M. Wazwaz "A comparative study on a singular perturbation problem with two singular boundary points" , Applied Mathematics and Computation, 99 (1999): 179-193.
[15] S. Johnson "Singular Perturbation Theory, Mathematical and Analytical Techniques with Applications to Engineering" , New York: Springer, (2005).
[16] Skinner L.A. "Singular Perturbation Theory."New York: Springer, 2011.
[17] M. Kumar, H.K. Mishra, P. Singh "A boundary value approach for singularly perturbed boundary value problems" ,
Advances in Engineering Software, vol. 40, no 4 (2009): 298-304.
[18] W.T. Van "Horssen On integrating vectors and multiple scales for singularly perturbed ordinary differential equations" ,
Nonlinear Analysis, 46, (2001): 19-43.
[19] H. Hu, Z.G. Xiong "Comparison of two Lindstedt-Poincare type perturbation methods" , Journal of Sound and Vibration, 278, (2004): 437-444.
[20] F. Lakrad, M. Belhaq "Periodic solutions of strongly nonlinear oscillators by the multiple scales method" , Journal of Sound and Vibration, vol. 258, no 4 (2002): 677-700.
[21] Dauylbayev M.K., Zhumartov M.A., Konisbaeva K.T. "Cingylyaply ayytқyғan integpaldy diffepencialdyқ teңdeylep үshin integpaldy shettik ecep sheshiminiң acimptotikalyқ zhinaқtylyғy [Asymptotic convergence of the solution of the integral boundary value problem for singularly perturbed integral differential equations]" , Vectnik KazNPU imeni Abaya, cepiya fiz-mat. no 1 (2015): 18-24.
[22] Kasymov K.A., Sharipova Zh.U. "Asimptoticheskie ocenki resheniya kraevoj zadachi dlya singulyarno vozmushchennyh linejnyh differencial’nyh uravnenij tret’ego poryadka [Asymptotic estimates of the solution of the boundary value problem for singularly perturbed linear differential equations of the third order]" , Vestnik KazGU im. S.M. Kirova. Ser. mat. no 1, (1993): 146-150.
[23] Assiya Zhumanazarova and Young Im Cho (2020) "Asymptotic Convergence of the Solution of a Singularly Perturbed Integro-Differential Boundary Value Problem" , Mathematics, 8 (2), 213(2020); doi:10.3390/math8020213.
