Аралас ақырлы элементтер әдiсiнiң негiзiнде эллиптикалық типтегi сызықты емес теңдеудi шешудiң итерациялық әдiсiн құру
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2020.v106.i2.09Кілттік сөздер:
аралас ақырлы элементтер әдiсi, сызықты емес Пуассон теңдеуi, априорлық бағалау, итерациялық әдiс, Brezzi-Douglas-Marini элементтерiАннотация
Бұл мақала эллиптикалық типтегi екi өлшемдi сызықты емес теңдеудi шешудiң ақырлы элементтi әдiсiн құруға және зерттеуге арналған. Бұл типтегi теңдеулер көпфазалы фильтрация теориясының, жартылай өткiзгiш аспаптар теориясының және басқа да көптеген есептердi шешуде пайда болады. Бұл мәселенi зерттеудiң өзектiлiгi осы есептi шешудiң тиiмдi параллельдi әдiстерiн құру қажеттiлiгiмен байланысты. Теңдеудi дискретизациялау үшiн Brezzi-Douglas-Marini элементтi аралас ақырлы элементтер әдiсi қолданылды. Ақырлы элементтi әдiстiң жинақтылығы мәселесi зерттеледi. Теңдеудi сызықты түрге келтiру үшiн Пикар итерациялық әдiсi пайдаланған. Жұмыста ақырлы элементтер әдiсi базистiк функциясының екi класы пайдаланылды. Алынған сызықты алгебралық теңдеулер жүйесiн шешудiң бiрнеше тура және итерациялық әдiстерiнiң тиiмдiлiгiне салыстырмалы талдау жүргiзiлдi, соның iшiнде, Bunch-Kaufman LDLt-факторизациясына негiзделген әдiс, ең кiшi қиыспаушылық әдiсi, симметриялы LQ-әдiсi, стабилизацияланған би-түйiндес градиенттер әдiсi және толық емес LU-жiктелуге негiзделген көмекшi әдiстерi пайдаланған Крылов iшкi кеңiстiктерi итерациялық алгоритмдерi. Жуық және белгiлi дәл шешiмдi салыстыру арқылы әдiс бiрнеше модельдiк есептерде сынақтан өткiзiлдi. Тор диаметрiнен тәуелдi әр түрлi нормалардағы әдiс қателiгiн талдау нәтижелерi келтiрiлген.
Библиографиялық сілтемелер
[2] Atkinson K. and Hansen O. "Solving the Nonlinear Poisson Equation on the Unit Disk" , Journal of Integral Equations
no. 3 (2005): 223-251.
[3] Auricchio F., Veiga L., Brezzi F. and Lovadina C. "Mixed finite element methods" , Encyclopedia of Computational Mechanics Second Edition no.1 (2017): 1–53.
[4] Puscas M. A., Enchery G. and Desroziers, S. "Application of the mixed multiscale finite element method to parallel simulations of two-phase flows in porous media" , Oil and Gas Science and Technology vol. 73, no. 38 (2018): 1-14.
[5] Muzhinji K., Shateyi S. and Motsa S. "The Mixed Finite Element Multigrid Method for Stokes Equations" , The Scientific World Journal no. 460421 (2015): 1–12.
[6] Vorwerk J., Engwer C., Pursiainen S. and Wolters C. "A mixed finite element method to solve the EEG forward problem" ,
IEEE transations on medical imaging no. 4 (2016): 930–941.
[7] Spiridonov D., Huang J., Vasilyeva M., Huang Yu. and Chung, E. "Mixed generalized multiscale finite element method for Darcy-Forchheimer model" , Mathematics vol. 7, no. 1212 (2019): 1–13.
[8] Brown D. L. and Vasilyeva M. "Generalized multiscale finite element method for poroelasticity problems II: nonlinear coupling" , Journal of Computational and Applied Mathematics vol. 297 (2016): 132–146.
[9] Rebholz L., Viguerie A. and Xiao M. "Efficient nonlinear iteration schemes based on algebraic splitting for the incom- pressible Navier-Stokes equations" , Mathematics of Computation vol. 88, no. 318 (2019): 1533–1557.
[10] Islam M., Hye A. and Mamun A. "Nonlinear Effects on the Convergence of Picard and Newton Iteration Methods in the Numerical Solution of One-Dimensional Variably Saturated–Unsaturated Flow Problems" , Hydrology vol. 4, no. 50 (2017): 1–18.
[11] Kuraz M., Mayer P. and Pech P. "Solving the nonlinear Richards equation model with adaptive domain decomposition" ,
Journal of Computational and Applied Mathematics vol. 270 (2014): 2-11.
[12] Nakshatrala K. and Turner D. "A mixed formulation for a modification to Darcy equation based on Picard linearization and numerical solutions to large-scale realistic problems" , International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics vol. 14, no. 6 (2013): 524–541.
[13] Madzvamuse A. and Chung A. "Fully implicit time-stepping schemes and non-linear solvers for systems of reaction– diffusion equations" , Applied Mathematics and Computation vol. 244 (2014): 361–374.
[14] Muccino J. and Luo H. "Picard iterations for a finite element shallow water equation model" , Ocean modeling vol. 10 (2005): 316–341.
[15] Zha Y., Yang J., Yin L., Zhang Y., Zheng, W. and Shi L. "A modified Picard iteration scheme for overcoming numerical difficulties of simulating infiltration into dry soil" , Journal of Hydrology vol. 551 (2017): 56–69.
[16] List F. and Radu F. "A study on iterative methods for solving Richards’ equation" , arXiv vol. 1507.07837v1 (2015): 1–16.
[17] Baboulin M., Dongarra J., Remy A., Tomov S. and Yamazaki I. "Solving dense symmetric indefinite systems using GPU" ,
Concurrency and Computation vol. 29, no. 9 (2017): 1–17.
[18] Zhong-Zhi B. "Motivations and realizations of Krylov subspace methods for large sparse linear systems" , Journal of Computational and Applied Mathematics vol. 283, no. 1 (2015): 71–78.
[19] Tran H., Toh K. and Phoon K. "Preconditioned IDR(s) iterative solver for non-symmetric linear system associated with FEM analysis of shallow foundation" , International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics vol. 37 (2013): 2972–2986.
[20] Choi S., Paige C. and Saunders M. "MINRES-QLP: A Krylov subspace method for indefinite or singular symmetric systems" , SIAM Journal of Scientific Computing vol. 3, no. 4 (2011): 1810–1836.
[21] Chronopoulos A. T. and Kucherov A. "Block s-step Krylov iterative methods" , Numerical Linear Algebra with Applica- tions vol. 17, no. 1 (2010): 3–15.
[22] Cotter C. and Kirby R. "Mixed finite elements for global tide models" , Numerische Mathematik no. 133 (2015): 255–277.
[23] Chen Z. "Finite element methods and their applications"(Springer, 2007).
[24] Kozulik, V. and Gotovac, B. "Numerical solution of Poisson’s Equation in an arbitrary domain by using meshless R- function method" , Proceeding of the 27th DAAM International Symposium on Intellect Manufacturing and Automation (2016): 245–254.
