Таяз су теңдеуін пайдалана отырып, тұрақсыз су ағындарындағы процестердің динамикасын заманауи зерттеулерге қысқаша шолу.
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2021.v112.i4.15Кілттік сөздер:
Сен-Венан теңдеулері, тұрақсыз өзен ағындарының динамикасы, сандық әдістер, гиперболалық дифференциалдық теңдеулер жүйесі, жоғары өнімді есептеулерАннотация
Гидродинамикада (гидравликада) өзендер мен каналдардағы су ағынының динамикасын бақылау мәселесін шешуге көптеген тәсілдер бар, әр түрлі әдістердің нәтижелері әр түрлі, және олардың сенімділігін бағалау әрқашан бола бермейді. Таяз су теңдеуін (немесе бір өлшемді түрдегі Сен-Венан теңдеулерін) гидротехниктер өз тәжірибесінде жиі қолданады. Олардың айқын қарапайымдылығы мен өзендер мен су ағындарының мінез -құлқын жеткілікті түрде сипаттау қабілеті оларды көптеген қосымшалар үшін пайдалы құралға айналдырады, мысалы, кеме қатынайтын өзендер мен ауыл шаруашылығындағы суару желілерін реттеу. Сен-Вэнан теңдеулерімен сипатталған есептерді есептеу саласындағы зерттеудің негізгі бағыты-өте қуатты компьютерлердің көмегімен жүзеге асырылатын сандық есептеу әдістерін жасау. Соңғы жылдары зерттеушілердің күшімен таяз судың жуықтауындағы жер үсті суларының динамикасының сандық үлгілерін жасау белсенді түрде дамып келеді.
Мақала дифференциалдық теңдеулерді пайдалана отырып, тұрақсыз су ағындарындағы процестер динамикасының математикалық зерттеулеріне шолу жасауға, сондай-ақ нақты процестерді модельде көрсету тұрғысынан осы тәсілдерді бағалауға арналған.
Зерттеудің мақсаты - тұрақсыз су ағындарындағы процестер динамикасын модельдеудің әр түрлі тәсілдерін талдау. Зерттеудің міндеттеріне факторлардың, параметрлердің және модельдеу әдістерінің таяз су теңдеуін модельдеуге әртүрлі тәсілдермен ғылыми жарияланымдарды талдау кіреді.
Библиографиялық сілтемелер
1. Васильев О.Ф., Годунов, С.К., Притвиц, Н.А., Темноева, Т.А., Фрязинова, И.Л., Шугрин, С.М. (1963) Численный метод расчета распространения длинных волн в открытых руслах и приложение его к задаче о паводке. Доклады АН СССР 151(3), 525-527. DOI: http://mi.mathnet.ru/dan28337
2. С. М. Шугрин, О неоднородных разностных схемах, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, том 6, номер 1, 184–185
3. Б. М. Будак, А. Б. Успенский, Разностный метод решения краевых задач для интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с разрывными коэффициентами, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, том 3, номер 6, 998–1005
4. Применение вычислительной техники в гидроэнергетических расчетах / В. И. Обрезков. - М. ; Л. : ГОСЭНЕРГОИЗДАТ, 1963. - 212 с
5. Васильев О.Ф., Гладышев М.Т., Судобичер В.Г. Численное решение задач о тече ниях с прерывными волнами в открытых руслах // Численные методы механики сплошной среды. – 1970. – Т. 1. – № 5. – С. 3
6. Hayat, A., Shang, P. (2019). A quadratic lyapunov function for saint-venant equations with arbitrary friction and space-varying slope. Automatica 100, 52–60. DOI:10.1016/j.automatica.2018.10.035
7. Годунов, С.К. (1979). Уравнения математической физики. Москва: «Наука», 392. DOI: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Godunov1979ru.djvu
8. Bastin, G., Coron, J.M. (2016) Stability and Boundary Stabilization of 1-D Hyperbolic Systems. itemirkhauser Basel, Springer International Publishing Switzerland. DOI: https://www.springer.com/gp/book/9783319320601
9. GoEttlich, S., Schillen, P.(2017) Numerical discretization of boundary control problems for systems of balance laws: Feedback stabilization. European Journal of Control 35, 11–18. DOI:10.1016/j.ejcon.2017.02.002
10. Bastin, G., Coron, J.M. (2017). A quadratic lyapunov function for hyperbolic density–velocity systems with nonuniform steady states. Systems & Control Letters 104, 66–71. DOI:10.1016/j.sysconle.2017.03.013
11. Bastin, G., Coron, J.M., Novel, B.d. (2009). On lyapunov stability of linearised saint-venant equations for a sloping channel. Networks and Heterogeneous Media 4, 177–187. DOI:10.3934/nhm.2009.4.177
12. Coron, J.M., Bastin, G. (2015). Dissipative boundary conditions for one-dimensional quasi-linear hyperbolic systems: Lyapunov stability for the C1-norm. SIAM Journal on Control and Optimization, 53 (3), 1464-1483. DOI: 10.1137/14097080X
13. Coron J.M., Hu Long, Olive, G. (2017). Finite-time boundary stabilization of general linear hyperbolic balance laws via Fredholm backstepping transformation. Automatica Journal IFAC, 84, 95-100. DOI:10.1016/j.automatica.2017.05.013
14. Peskin, C.S. (2002). The immersed boundary method. Acta Numerica, 11, 479-517. DOI: 10.1017/S0962492902000077.
15. Волков, К.Н. (2005). Реализация схемы расщепления на разнесенной сетке для расчета нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости, Вычислительные методы и программирования, 6, 269-282. DOI: http://mi.mathnet.ru/vmp648
16. A.M. Blokhin, Aloev R.D., M.U. Hudayberganov One Class of Stable Difference Schemes for Hyperbolic System. American Journal of Numerical Analysis. Vol. 2(3), 2014, pp. 85-89. DOI: http://pubs.sciepub.com/ajna/2/3/4
17. Aloev R.D., Khudoyberganov M. U., Blokhin A.M. Construction and research of adequate computational models for quasilinear hyperbolic systems. Numerical Algebra, Control and Optimization. Vol. 8(3) 2018. pp. 287–299. DOI: 10.3934/naco.2018017
18. Berdyshev, A.S., Imomnazarov, Kh.Kh., Jian-Gang, T., Mikhailov, A. (2016). The Laguerre spectral method as applied to numerical solution of a two-dimensional linear dynamic seismic problem for porous media. Open Computer Science, 1, 208-212. DOI: 10.1515/comp-2016-0018
19. Самарский, A.A., Николаев, Е.С. (1978) Методы решения сеточных уравнений. Москва: «Наука», 532. DOI: http://samarskii.ru/books/book1978.pdf
20. Климович В. И., Петров О. А. Численное моделирование течений при работе водосливной плотины Бурейской ГЭС // Известия Всероссийского научно-исследовательского института гидротехники им. Б.Е. Веденеева. 2012.—Т. 266.—С. 22–37.
21. Цыганова М. В., Лемешко Е. М. Динамика вод шельфа в районе дельты Дуная на основе численного моделирования // Крым — эколого-экономический регион. Пространство ноосферного развития. МатериалыI Международного экологического форума в Крыму.—2017.—С. 260–262.
22. Рахуба А. В., Шмакова М. В. Математическое моделирование динамики заиления как фактора эвтрофирования водных масс Куйбышевского водохранилища // Известия Самарского научного центра Российской академии наук.—2015.—Т. 17, № 4–1.
23. Шевердяев И. В., Бердников С. В., Клещенков А. В. Применение программного комплекса HEC-RAS для моделирования гидрологического режима дельты Дона // Экология. Экономика. Информатика. Серия: Системныйанализ и моделирование экономических и экологических систем. 2017.—Т. 1, № 2.—С. 113–122.
24. Экстремальное наводнение в дельте Дона (23-24 марта 2013 г.) и факторы, его определяющие / Г. Г. Матишов, А. Л. Чикин, С. В. Бердников,И. В. Шевердяев // Доклады академии наук.—Т. 455.—2014.—С. 342.
25. Богомолов А. В., Лепихин А. П., Тиунов А. А. Использование численных гидродинамических моделей для оценки эффективности проектных решений по защите берегов (на примере реки Дон в районе города Павловска) // Водное хозяйство России: проблемы, технологии, управление. —2014.—№ 1.—С. 50–57.
26. Использование компьютерного моделирования динамики поверхностных вод реки Медведицы для решения природоохранных задач / М. И. Ошкин,А. В. Писарев, В. Ф. Желтобрюхов и др. // Вестник Казанского технологического университета.—2015.—Т. 18, № 18.—С. 246–248.
27. Alcrudoa F., Benkhaldoun F. Exact solutions to the Riemann problem of the shallow water equations with a bottom step // Computers & Fluids. 2001. V. 30. № 6. P. 643–671
28. Han E., Warnecke G. The Exact Riemann solutions to shallow water equations http://www.math.ntnu.no/conservation/2012/012.pdf
29. Булатов О.В. Аналитические и численные решения уравнений Сен-Венана для некоторых задач о распаде разрыва над уступом и ступенькой дна, Журнал вычислительной математики и математической физики, 2014, 54(1), 149-163
30. Остапенко В.В. О разрывных решениях уравнений мелкой воды над уступом дна // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 6. С. 62–74.
31. Остапенко В.В. Течения, возникающие при разрушении плотины над ступенькой дна // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 4. С. 51–63.
32. Беликов В.В., Борисова Н.М., Остапенко В.В. Совершенствование методов численного моделирования гидротехнических сооружений с резкими перепадами отметок дна. Сб. Безопасность энергетических сооружений. Вып. 16. М.: ОАО НИИЭС, 2007. С. 79–89.
33. Петросян А.С. Дополнительные главы гидродинамики тяжелой жидкости со свободной границей. Сер. Механика, управление, информатика. М.: ИКИ РАН, 2010
34. М. Г. Абдураимов, Х. А. Музафаров, А. А. Путтиев, Движение вод в открытых руслах (уравнения Сен-Венана), Матем. моделирование, 1998, том 10, номер 6, 97–106
35. A.Kurganov(2008). Finite-volume schemes for shallow-water equations. Acta Numerica, pp. 289–351.doi:10.1017/S0962492918000028. Printed in the United Kingdom
36. G.S. Jiang and E. Tadmor (1998), Nonoscillatory central schemes for multidimensional hyperbolic conservation laws, SIAM J. Sci. Comput. 19, 1892–1917.
37. A. Kurganov and D. Levy (2002), Central-upwind schemes for the Saint-Venant system’, M2AN Math. Model. Numer. Anal. 36, 397–425.
38. A. Kurganov and E. Tadmor (2000), ‘New high-resolution central schemes for nonlinear conservation laws and convection–diffusion equations’, J. Comput. Phys. 160, 241–282.
39. H. Shirkhani, A. Mohammadian, O. Seidou and A. Kurganov (2016), ‘A wellbalanced positivity-preserving central-upwind scheme for shallow water equations on unstructured quadrilateral grids’, Comput. & Fluids 126, 25-40.
40. Беликов В.В., Алексюк А.И. Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики. – М.: РАН, 2020. – 346 с.
41. Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Марчук Ан.Г. Симонов К.В. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука,1989.
42. Yan M., Cundy T.W. Modeling of Two-Dimensional Overland Flow//Water Resour.Res.1989. Vol. 25(9).p.2019-2035.
43. Елизарова Т. Г., Булатов О. В., Численный алгоритм решения регуляризованных уравнений мелкой воды на неструктурированных сетках, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2014, 021.
44. Булатов О.В., Елизарова Т.Г. Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного моделирования течений в неглубоких водоемах// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51, № 1.- c. 7-184.
45. Елизарова Т.Г., Иванов А.В. Квазигазодинамический алгоритм численного решения двухслойных уравнений мелкой воды // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2016. - № 69
46. Квон В.И., Квон Д.В., Зонов С. Д., Карамышев В.Б. Численный расчет течений и дальнего переноса примеси в равнинных речных водохранилищах. Прикладная механика и техническая физика. 2003. т. 44, № 6,с.158-163
47. Зонов С.Д., Квон Д.В., Квон В.И. Численное моделирование процессов переноса примеси в прибрежной зоне водохранилища // Экологический анализ региона (теория, методы, практика). Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. С. 212–220.
48. Зонов С.Д., Квон Д.В., Квон В.И. Численное моделирование турбулентных течений и процессов переноса тепла и примеси в равнинных речных водохранилищах // Вычисл. технологии. 2002. Т. 7. c. 21–27: Вестн. Казах. гос. нац. ун-та. 2002. № 4. С. 21–27. Совмест. вып. Ч. 3.
49. Ковыркина О.А. О численном моделировании течений с прерывными волнами, Вычислительная механика сплошных сред, 1, 2008, стр. 48-56
50. Kamboh S.A., Izzatul N.S, Labadin J., Monday O. Eze, Simulation of 2D Saint-Venant equations in open channel by using MATLAB, in Journal of IT in Asia, 2015, https://www.researchgate.net/publication/299225104.
2. С. М. Шугрин, О неоднородных разностных схемах, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, том 6, номер 1, 184–185
3. Б. М. Будак, А. Б. Успенский, Разностный метод решения краевых задач для интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с разрывными коэффициентами, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, том 3, номер 6, 998–1005
4. Применение вычислительной техники в гидроэнергетических расчетах / В. И. Обрезков. - М. ; Л. : ГОСЭНЕРГОИЗДАТ, 1963. - 212 с
5. Васильев О.Ф., Гладышев М.Т., Судобичер В.Г. Численное решение задач о тече ниях с прерывными волнами в открытых руслах // Численные методы механики сплошной среды. – 1970. – Т. 1. – № 5. – С. 3
6. Hayat, A., Shang, P. (2019). A quadratic lyapunov function for saint-venant equations with arbitrary friction and space-varying slope. Automatica 100, 52–60. DOI:10.1016/j.automatica.2018.10.035
7. Годунов, С.К. (1979). Уравнения математической физики. Москва: «Наука», 392. DOI: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Godunov1979ru.djvu
8. Bastin, G., Coron, J.M. (2016) Stability and Boundary Stabilization of 1-D Hyperbolic Systems. itemirkhauser Basel, Springer International Publishing Switzerland. DOI: https://www.springer.com/gp/book/9783319320601
9. GoEttlich, S., Schillen, P.(2017) Numerical discretization of boundary control problems for systems of balance laws: Feedback stabilization. European Journal of Control 35, 11–18. DOI:10.1016/j.ejcon.2017.02.002
10. Bastin, G., Coron, J.M. (2017). A quadratic lyapunov function for hyperbolic density–velocity systems with nonuniform steady states. Systems & Control Letters 104, 66–71. DOI:10.1016/j.sysconle.2017.03.013
11. Bastin, G., Coron, J.M., Novel, B.d. (2009). On lyapunov stability of linearised saint-venant equations for a sloping channel. Networks and Heterogeneous Media 4, 177–187. DOI:10.3934/nhm.2009.4.177
12. Coron, J.M., Bastin, G. (2015). Dissipative boundary conditions for one-dimensional quasi-linear hyperbolic systems: Lyapunov stability for the C1-norm. SIAM Journal on Control and Optimization, 53 (3), 1464-1483. DOI: 10.1137/14097080X
13. Coron J.M., Hu Long, Olive, G. (2017). Finite-time boundary stabilization of general linear hyperbolic balance laws via Fredholm backstepping transformation. Automatica Journal IFAC, 84, 95-100. DOI:10.1016/j.automatica.2017.05.013
14. Peskin, C.S. (2002). The immersed boundary method. Acta Numerica, 11, 479-517. DOI: 10.1017/S0962492902000077.
15. Волков, К.Н. (2005). Реализация схемы расщепления на разнесенной сетке для расчета нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости, Вычислительные методы и программирования, 6, 269-282. DOI: http://mi.mathnet.ru/vmp648
16. A.M. Blokhin, Aloev R.D., M.U. Hudayberganov One Class of Stable Difference Schemes for Hyperbolic System. American Journal of Numerical Analysis. Vol. 2(3), 2014, pp. 85-89. DOI: http://pubs.sciepub.com/ajna/2/3/4
17. Aloev R.D., Khudoyberganov M. U., Blokhin A.M. Construction and research of adequate computational models for quasilinear hyperbolic systems. Numerical Algebra, Control and Optimization. Vol. 8(3) 2018. pp. 287–299. DOI: 10.3934/naco.2018017
18. Berdyshev, A.S., Imomnazarov, Kh.Kh., Jian-Gang, T., Mikhailov, A. (2016). The Laguerre spectral method as applied to numerical solution of a two-dimensional linear dynamic seismic problem for porous media. Open Computer Science, 1, 208-212. DOI: 10.1515/comp-2016-0018
19. Самарский, A.A., Николаев, Е.С. (1978) Методы решения сеточных уравнений. Москва: «Наука», 532. DOI: http://samarskii.ru/books/book1978.pdf
20. Климович В. И., Петров О. А. Численное моделирование течений при работе водосливной плотины Бурейской ГЭС // Известия Всероссийского научно-исследовательского института гидротехники им. Б.Е. Веденеева. 2012.—Т. 266.—С. 22–37.
21. Цыганова М. В., Лемешко Е. М. Динамика вод шельфа в районе дельты Дуная на основе численного моделирования // Крым — эколого-экономический регион. Пространство ноосферного развития. МатериалыI Международного экологического форума в Крыму.—2017.—С. 260–262.
22. Рахуба А. В., Шмакова М. В. Математическое моделирование динамики заиления как фактора эвтрофирования водных масс Куйбышевского водохранилища // Известия Самарского научного центра Российской академии наук.—2015.—Т. 17, № 4–1.
23. Шевердяев И. В., Бердников С. В., Клещенков А. В. Применение программного комплекса HEC-RAS для моделирования гидрологического режима дельты Дона // Экология. Экономика. Информатика. Серия: Системныйанализ и моделирование экономических и экологических систем. 2017.—Т. 1, № 2.—С. 113–122.
24. Экстремальное наводнение в дельте Дона (23-24 марта 2013 г.) и факторы, его определяющие / Г. Г. Матишов, А. Л. Чикин, С. В. Бердников,И. В. Шевердяев // Доклады академии наук.—Т. 455.—2014.—С. 342.
25. Богомолов А. В., Лепихин А. П., Тиунов А. А. Использование численных гидродинамических моделей для оценки эффективности проектных решений по защите берегов (на примере реки Дон в районе города Павловска) // Водное хозяйство России: проблемы, технологии, управление. —2014.—№ 1.—С. 50–57.
26. Использование компьютерного моделирования динамики поверхностных вод реки Медведицы для решения природоохранных задач / М. И. Ошкин,А. В. Писарев, В. Ф. Желтобрюхов и др. // Вестник Казанского технологического университета.—2015.—Т. 18, № 18.—С. 246–248.
27. Alcrudoa F., Benkhaldoun F. Exact solutions to the Riemann problem of the shallow water equations with a bottom step // Computers & Fluids. 2001. V. 30. № 6. P. 643–671
28. Han E., Warnecke G. The Exact Riemann solutions to shallow water equations http://www.math.ntnu.no/conservation/2012/012.pdf
29. Булатов О.В. Аналитические и численные решения уравнений Сен-Венана для некоторых задач о распаде разрыва над уступом и ступенькой дна, Журнал вычислительной математики и математической физики, 2014, 54(1), 149-163
30. Остапенко В.В. О разрывных решениях уравнений мелкой воды над уступом дна // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 6. С. 62–74.
31. Остапенко В.В. Течения, возникающие при разрушении плотины над ступенькой дна // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 4. С. 51–63.
32. Беликов В.В., Борисова Н.М., Остапенко В.В. Совершенствование методов численного моделирования гидротехнических сооружений с резкими перепадами отметок дна. Сб. Безопасность энергетических сооружений. Вып. 16. М.: ОАО НИИЭС, 2007. С. 79–89.
33. Петросян А.С. Дополнительные главы гидродинамики тяжелой жидкости со свободной границей. Сер. Механика, управление, информатика. М.: ИКИ РАН, 2010
34. М. Г. Абдураимов, Х. А. Музафаров, А. А. Путтиев, Движение вод в открытых руслах (уравнения Сен-Венана), Матем. моделирование, 1998, том 10, номер 6, 97–106
35. A.Kurganov(2008). Finite-volume schemes for shallow-water equations. Acta Numerica, pp. 289–351.doi:10.1017/S0962492918000028. Printed in the United Kingdom
36. G.S. Jiang and E. Tadmor (1998), Nonoscillatory central schemes for multidimensional hyperbolic conservation laws, SIAM J. Sci. Comput. 19, 1892–1917.
37. A. Kurganov and D. Levy (2002), Central-upwind schemes for the Saint-Venant system’, M2AN Math. Model. Numer. Anal. 36, 397–425.
38. A. Kurganov and E. Tadmor (2000), ‘New high-resolution central schemes for nonlinear conservation laws and convection–diffusion equations’, J. Comput. Phys. 160, 241–282.
39. H. Shirkhani, A. Mohammadian, O. Seidou and A. Kurganov (2016), ‘A wellbalanced positivity-preserving central-upwind scheme for shallow water equations on unstructured quadrilateral grids’, Comput. & Fluids 126, 25-40.
40. Беликов В.В., Алексюк А.И. Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики. – М.: РАН, 2020. – 346 с.
41. Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Марчук Ан.Г. Симонов К.В. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука,1989.
42. Yan M., Cundy T.W. Modeling of Two-Dimensional Overland Flow//Water Resour.Res.1989. Vol. 25(9).p.2019-2035.
43. Елизарова Т. Г., Булатов О. В., Численный алгоритм решения регуляризованных уравнений мелкой воды на неструктурированных сетках, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2014, 021.
44. Булатов О.В., Елизарова Т.Г. Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного моделирования течений в неглубоких водоемах// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51, № 1.- c. 7-184.
45. Елизарова Т.Г., Иванов А.В. Квазигазодинамический алгоритм численного решения двухслойных уравнений мелкой воды // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2016. - № 69
46. Квон В.И., Квон Д.В., Зонов С. Д., Карамышев В.Б. Численный расчет течений и дальнего переноса примеси в равнинных речных водохранилищах. Прикладная механика и техническая физика. 2003. т. 44, № 6,с.158-163
47. Зонов С.Д., Квон Д.В., Квон В.И. Численное моделирование процессов переноса примеси в прибрежной зоне водохранилища // Экологический анализ региона (теория, методы, практика). Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. С. 212–220.
48. Зонов С.Д., Квон Д.В., Квон В.И. Численное моделирование турбулентных течений и процессов переноса тепла и примеси в равнинных речных водохранилищах // Вычисл. технологии. 2002. Т. 7. c. 21–27: Вестн. Казах. гос. нац. ун-та. 2002. № 4. С. 21–27. Совмест. вып. Ч. 3.
49. Ковыркина О.А. О численном моделировании течений с прерывными волнами, Вычислительная механика сплошных сред, 1, 2008, стр. 48-56
50. Kamboh S.A., Izzatul N.S, Labadin J., Monday O. Eze, Simulation of 2D Saint-Venant equations in open channel by using MATLAB, in Journal of IT in Asia, 2015, https://www.researchgate.net/publication/299225104.
Жүктелулер
Как цитировать
Berdyshev, A. S., Abduramanov, Z. A.- ongarovich, Bliyeva, D. N., & Akhtayeva, N. S. (2021). Таяз су теңдеуін пайдалана отырып, тұрақсыз су ағындарындағы процестердің динамикасын заманауи зерттеулерге қысқаша шолу. Қазұу Хабаршысы. Математика, механика, информатика сериясы, 112(4). https://doi.org/10.26577/JMMCS.2021.v112.i4.15
Шығарылым
Бөлім
Қолданылмалы математика
