О квазитождествах конечных модулярных решеток
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v115.i3.05Ключевые слова:
Решетка, квазимногообразие, конечный базис квазитождествАннотация
В 1970 году Р. Маккензи доказал, что любая конечная решетка имеет конечный базис тождеств. Однако аналогичный результат для квазитождеств неверен. То есть существует конечная решетка, которая не имеет конечного базиса квазитождеств. Проблема "Какие конечные решетки имеют конечные базисы квазитождеств?" была предложена В.А. Горбуновым и Д.М. Смирновым. В 1984 году В.И. Туманов нашел достаточное условие, состоящее из двух частей, при котором локально конечное квазимногообразие решеток не имеет конечного (независимого) базиса квазитождеств. Также он предположил, что конечная (модулярная) решетка имеет конечный базис квазитождеств тогда и только тогда, когда квазимногообразие, порожденное этой решеткой, является многообразием. В общем случае гипотеза неверна. В. Дзебяк нашел конечную решетку, которая порождает конечно аксиоматизируемое собственное квазимногообразие. Проблема Туманова до сих пор не решена для модулярных решеток. Мы строим конечную модулярную решетку, которая не удовлетворяет одному из условий Туманова, но квазимногообразие, порожденное этой решеткой, не является конечно базируемым
Библиографические ссылки
[2] Belkin V.P., "Quasi-identities of finite rings and lattices" , Algebra and Logic, 17 (1979): 171-179
[3] Gorbunov V.A., Smirnov D.M., "Finite algebras and the general theory of quasivarieties" , Colloq. Mathem. Soc. Janos Bolyai. Finite Algebra and Multipli-valued Logic, 28 (1979): 325-332.
[4] Tumanov V.I., "On finite lattices having no independent bases of quasi-identities" , Math. Notes, 36 (1984): 625-634.
[5] Dziobiak W., "Finitely generated congruence distributive quasivarieties of algebras" , Fund. Math., 133 (1989): 47-57.
[6] Burris S., Sankappanavar H.P., A Course in Universal Algebra (New York: Springer, 1980): 315.
[7] Gorbunov V.A., Algebraic Theory of Quasivarieties (New York: Consultants Bureau, 1998): 368.
[8] Birkhoff G., "Subdirect union in universal algebra" , Bull. Amer. Math. Soc., 50 (1944): 764-768.
[9] Basheyeva A.O., Mustafa M., Nurakunov A.M., "Properties not retained by pointed enrichments of finite lattices" , Algebra Univers., 81:56 (2020): 1-11.
[10] Jonsson B., "Algebras whose congruence lattices are distributive" , Math. Scand., 21 (1967): 110-121.
[11] Kravchenko A.V., Nurakunov A.M., Schwidefsky M.V., "Structure of quasivariety lattices. I. Independent
axiomatizability" , Algebra and Logic, 57:6 (2019): 445-462.
[12] Lutsak S.M., "On complexity of quasivariety lattices" , Sib. El. Math. Rep., 14 (2017): 92-97.
[13] Schwidefsky M.V., "Complexity of quasivariety lattices" , Algebra and Logic, 54:3 (2015): 245-257
