Начально-краевая задача для дробных вырожденных диффузионных уравнений
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v113.i1.04Ключевые слова:
Дробно-вырожденное диффузионное уравнение, метод разделения переменных, функция Килбаса-СайгоАннотация
В данной работе рассматриваются начально-краевые задачи для одномерных дробных вырожденных линейных диффузионных уравнений с дробной производной ∂ α t порядка α ∈ (0, 1) по переменной t и с вырождающимися коэффициентами диффузии t β при β ≥ 1−α. Показаны решения начально-краевых задач для одномерных уравнений вырождающейся диффузии с дробной по времени производной ∂ α t порядка α ∈ (0, 1) по переменной t. Во второй части даны краевые задачи Дирихле и Неймана, а в третьей части показаны решения краевых задач Дирихле и Неймана для одномерного дробного вырожденного линейного диффузионного уравнения. Решения этих дробных диффузионных уравнений представлены с помощью функции Килбаса-Сайго Eα,m,l(z). Решение задач получено с помощью метода разделения переменных, путем нахождения двух задач с одной переменной. Доказаны существование и единственность решения задач. Сходимости решения доказано с помощью оценки функции Килбаса-Сайго Eα,m,l(z) из [13] и тождество Парсеваля.
Библиографические ссылки
[2] Dubbeldam J.L.A., Milchev A., Rostiashvili V.G., Vilgis T.A., Polymer translocation through a nanopore: A showcase of anomalous diffusion, [Phys. Rev.] E 76 (2007) 010801 (R).
[3] Freed A., Diethelm K., Luchko Yu., Fractional-Order Viscoelasticity (FOV): Constitutive Development Using the
Fractional Calculus, NASA’s Glenn Research Center, Ohio, 2002.
[4] Gorenflo R., Mainardi F., "Random walk models for space-fractional diffusion processes" , Fract. Calc. Appl. Anal. 1 (1998) 167–191.
[5] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J., "Theory and Applications of Fractional Differential Equations" , Elsevier, North-Holland. Mathematics studies, 2006. 539 p.
[6] Podlubny I., "Fractional Differential Equations, Academic Press," , San Diego, 1999.
[7] Uchaikin V.V., "Method of Fractional Derivatives," , Artishok, Ul’janovsk, 2008 (in Russian).
8] Byszewski L., Existence and uniqueness of solutions of nonlocal problems for hyperbolic equation uxt = F(x, t, u, ux), J. Appl. Math. Stoch. Anal. 3 (1990), 163–168.
[9] Chabrowski J., "On non-local problems for parabolic equations." , Nagoya Math. J. 93 (1984), 109–131.
[10] Dehghan M., "Implicit collocation technique for heat equationwith nonclassic initial condition." , Appl. Math. Comput. 147 (2004), 321–331.
[11] . Dehghan M, "Scattering solutions in networks of thin fibers: Small diameter asymptotics" , Int. J. Nonlin. Sci. Numer. Simul. 7 (2006), 447–450.
[12] Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Torebek B.T., "On a non-local problem for a multi-term fractional diffusion-wave equation" , Fractional Calculus and Applied Analysis, 23:2 (2020), 324– 355.
[13] Boudabsa L., Simon T., Vallois P., "Fractional extreme distributions" , ArXiv. (2019). 1–46. arXiv: 1908.00584v1.
[14] Nakhusheva V. A., "The extremum principle for a nonlocal parabolic equation and the mixed problem for the generalized wave equation" , Dokl. Adyg. (Cherkes.) Mezhdun. Akad. Nauk. 2 (1996), 26–28 (in Russian)
[15] Luchko Y., "Boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation of distributed order" , Fract.Calc. Appl. Anal. 12 (2009), 409–422
[16] Luchko Y., "Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized timefractional diffusion equation" , Comput. Math. Appl. 59 (2010), 1766–1772
[17] Luchko Y., "Initial-boundary problems for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation" , J. Math. Anal. Appl. 374 (2011), 538–548
[18] Luchko Y., "Maximum principle and its application for the time-fractional diffusion equations" , Fract. Calc. Appl. Anal. 14 (2011), 110–124
[19] Gorenflo R., Mainardi F., "Signalling problem and Dirichlet-Neumann map for time-fractional diffusion-wave equation" ,Matimyas Mat. 21 (1998), 109–118
