Свертки, порождаемые задачей Дирихле оператора Штурма-Лиувилля
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v113.i1.06Ключевые слова:
приближение, свертка, краевые задачи, задача Дирихле, преобразование ФурьеАннотация
Настоящая работа посвящена аппроксимаций произведения двух непрерывных на конечном отрезке функций некоторыми специальными свертками. Точность приближения зависит от длины отрезка на котором задаются функций. Эти свертки порождаются краевыми задачами Штурма-Лиувилля. В работе указывается, что каждая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка порождает свою индивидуальную свертку и свое индивидуальное преобразование Фурье. Причем преобразование Фурье от свертки равно произведению преобразований Фурье. Последнее свойство позволяет приближенно решать нелинейные уравнения типа Бюргерса, предварительно заменив нелинейной член сверткой двух функций. Подобные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными можно найти в работах А. Ю. Колесова, Н. Х. Розова, В. А. Садовничего. В работе строится конкретная свертка, порожденная краевой задачей Дирихле для двухкратного дифференцирования. Выведены свойства построенной свертки и связь их с соответствующим преобразованием Фурье. В заключительной части работы доказана сходимость свертки (g(x) sin(x)) ∗ (f(x) sin(x)) определенной на отрезки C[0, b] к произведению g(x)f(x) при b стремящемся к нулю для любых двух непрерывных функций f(x) и g(x).
Библиографические ссылки
to Landau // Successes of mathematical Sciences. 2008. Vol.63, issue 2(380). p.21-84.
[2] Hopf E. A. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. U.1. P.303-322.
[3] V. S. Vladimirov. Equations of mathematical physics, M.: Nauka, (1981) (In Russian)
[4] B. E. Kanguzhin, M. E. Ruzhansky, N. E. Tokmagambetov. On convolutions in Hilbert spaces // Func. Analysis and its
Appl., Vol. 51, No. 1 (2017), 77-80 (in Russian)
[5] N. I. Ionkin. Solution of a boundary value problem in the theory of thermal conductivity with a non-classical boundary
condition // Differential equation, Vol. 13, No. 2, (1977), 294-304 (in Russian).
[6] B. E. Kanguzhin, S. N. Gani. Convolutions generated by differential operators on a segment // Izvestiya NAS RK. Phys.-
math. series, No. 1 (2004), 29-33 (in Russian).
[7] B. E. Kanguzhin, N. E. Tokmagambetov. Convolution, Fourier transform and Sobolev generated by non-local Ionkin
Problem // Ufa Math. Journal, Vol. 7, No. 4 (2015), 80-92.
[8] N. Bozhinov. Convolutional representations of commutants and multipliers // Sofia: Bulg. Acad. Sci. (1988).
[9] B. E. Kanguzhin, N. E. Tokmagambetov. The Fourier transform and convolutions generated by a differential operator with
boundary condition on a segment // in book: Fourier Analysis: Trends in Mathematics, Springer-Verlag (2014), 235-251.
[10] J. Delgado, M. E. Ruzhansky, N. E. Tokmagambetov. Schatten classes, nuclearity and nonharmonic analysis on compact
manifolds with boundary // J. Math. Pures Appl., No. 107 (2017), 758-783.
[11] M. E. Ruzhansky, N. E. Tokmagambetov. Nonharmonic analysis of boundary-value problems // Int. Math. Res. Notes,
No. 12 (2016), 3548-3615.
[12] M. E. Ruzhansky, N. E. Tokmagambetov. Very week solutions of wave equation for Landau Hamiltonian with irregular
electromagnetic field // Lett. Math. Phys., No. 107 (2017), 591-618.
[13] B. E. Kanguzhin. Operators whose resolvents have convolution representations and their spectral analysis // Itogi Nauki
I Tekhniki, Ser. Sovrem. Math. Pril. Temat. Obz., Acad. sci. (1988).
[14] B. E. Kanguzhin. On a model of the generation of turbulence // Chaos Solitons and Fractals, 150(380):111099 (2021)
