Граничное управление температурным полем стержня с выделенной точкой
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v114.i2.02Ключевые слова:
начально-граничная задача, уравнение теплопроводности, граничное управление, функция Грина, интегральное уравнение Фредгольма второго рода, спректальные свойства, собственная функция, собственные значенияАннотация
В данной работе изучается вопрос о граничном управлении температурным полем стержня с выделенной точкой. Основная цель работы – выяснение условий существования граничного управления, обеспечивающего переход температурного поля из начального состояния в конечное состояние. Найдены соотношения, связывающие граничные управления с начальным и финальным состояниями, а также внешним температурным полем. Такие граничные управления, вообще говоря, составляют бесконечное множество. Для однозначного выбора граничного управления выбран строго выпуклый целевой функционал. Ищется граничное управление, которое минимизирует выбранный целевой функционал. Для этого в работе сначала исследуются существование и единственность решений начально-граничной задачи и сопряженной задачи. А также, дан вывод системы линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которым удовлетворяет оптимальное граничное управление, которое минимизирует строго выпуклый целевой функционал на выпуклом множестве. По пути выделена линейная часть приращения целевого функционала. Установлены необходимые и достаточные условия минимума гладкого выпуклого функционала на выпуклом множестве. Отличие результатов данной работы от имеющихся заключается в том, что в предлагаемой работе температурное поле задается уравнением теплопроводности с нагруженным членом. Вследствие чего сопряженная задача имеет несколько отличительную область определения, чем область определения сопряженной задачи в случае отсутствия нагрузки.
Библиографические ссылки
[2] M. Jenaliyev, K. Imanberdiyev, A. Kassymbekova and K. Sharipov, “Stabilization of solutions of two-dimensional parabolic equations and related spectral problems,” Eurasian Math. J., 11 (1), 72–85 (2020).
[3] J. L. Wang and H. N. Wu, “Passivity of delayed reaction-diffusion networks with application to a food web model,” Appl. Math. Comput. 219 (24), 11311–11326 (2013).
[4] B. Tang, G. Sapiro and V. Caselles, “Color image enhancement via chromaticity diffusion,” IEEE Trans. Image Process. (10), 701–707 (2001).
[5] M. Mitra and S. Gopalakrishnan, “Wave propagation in imperfectly bonded single walled carbon nanotube-polymer composites,” J. Appl. Phys. (102), 084301 (2007).
[6] J.S. Wettlaufer, “Heat flux at the ice-ocean interface,” J. Geophys. Res. Oceans 96 (C4), 7215–7236 (1991).
[7] S. Koga, L. Camacho-Solorio and M. Krstic, “State estimation for lithium ion batteries with phase transition materials,” ASME 2017 Dynamic Systems and Control Conference, Tysons, Virginia, USA, 1–8 (2017).
[8] N. Ghaderi, M. Keyanpour and H. Mojallali, “Observer-based finite-time output feedback control of heat equation with Neumann boundary condition,” Journal of the Franklin Institute 357 (14), 9154–9173 (2020).
[9] A. Polyakov and L. Fridman, “Stability notions and lyapunov functions for sliding mode control system,” J. Francl. Inst. 351 (4), 1831–1865 (2014).
[10] A. Polyakov, J. M. Coron and L. Rosier, “On boundary finite-time feedback control for heat equation,” 20th IFAC World Congress, Toulouse, France, (2017).
[11] A. Hasanov and M. Slodicka, “An analysis of inverse source problems with final time measured output data for the heat conduction equation: A semigroup approach, Applied Mathematics Letters 26 (2013) 207–214.
[12] M. I. Ramazanov, M. T. Kosmakova and L. Zh. Kasymova, “On a Problem of Heat Equation with Fractional Load,” Lobachevskii Journal of Mathematics 41, 1873–1885 (2020).
[13] L. Beilina and M. V. Klibanov, Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems (Springer, New York, 2012).
[14] A. L. Bukhgeim and M. V. Klibanov, “Uniqueness in the large of a class of multidimensional inverse problems,” Soviet Mathematics-Doklady (17), 244–247 (1981).
[15] V. Isakov, “Inverse Source Problems,” in: Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 34, American Mathematical Society, Providence-RI, (1990).
[16] V. Isakov, “Inverse parabolic problems with the final overdetermination,” Communications on Pure and Applied Mathematics (54), 185–209 (1991).
[17] M. A. Naimark, Lineinye differentsial’nye operatory (2-ye izd.) [Linear Differential Operators (2nd ed.)] (Nauka, Main Edition of Physical and Mathematical Literature, Moscow, 1969) (in Russian).
[18] L. C. Evans, Partial Differential Equations (American Mathematical Society, 1998).
[19] V. A. Il’in, “The solvability of mixed problems for hyperbolic and parabolic equations,” Uspekhi Mat. Nauk, 15 2(92), 97–154 (1960); Russian Math. Surveys, 15 (1), 85–142 (1960).
[20] F. P. Vasiliyev, Metody resheniya ekstremal’nykh zadach [Methods for solving extremal
problems] (Nauka, Main Edition of Physical and Mathematical Literature, Moscow, 1981) (in Russian).
[21] T. Kato, Theory of perturbations of linear operators (Mir, Moscow, 1972) (in Russian).
