Граничная задача для уравнения типа Буссинеска в треугольнике
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v115.i3.04Ключевые слова:
уравнение Буссинеска, вырождающаяся область, априорные оценки, пространство СоболеваАннотация
Ранее нами была рассмотрена начально-граничная задача для одномерного уравнения типа Буссинеска в области, представляющей собой трапецию, в которой методами теории монотонных операторов установлены теоремы об её однозначной слабой разрешимости в соболевских классах. В этой статье мы продолжаем исследования в данном направлении и изучаем вопросы корректной постановки граничной задачи для одномерного уравнения типа Буссинеска в вырождающейся области, представляющей собой треугольник. Предложено скалярное произведение с помощью которого показана монотонность основных операторов, и получены равномерные априорные оценки. Далее методами теории монотонных операторов и априорных оценок установлены теоремы об её однозначной слабой разрешимости в соболевских классах. Установлена теорема о повышении гладкости слабого решения. При доказательстве теоремы о повышении гладкости мы используем обобщение классического результата о компактности в банаховых пространствах, доказанного Ю.И. Дубинским ("Weak convergence in nonlinear elliptic and parabolic equations Sbornik: Mathematics, 67 (109): 4 (1965)) при наличии ограниченного множества из полунормированного пространства вместо нормированного. Также показано, что решение может иметь особенность в точке вырождения области. Порядок данной особенности определен, и доказана соответствующая теорема.
Библиографические ссылки
[2] M.T. Jenaliyev, A.S. Kasymbekova, M.G. Yergaliyev, A.A. Assetov, "An Initial Boundary Value Problem for the
Boussinesq Equation in a Trapezoid" , Bulletin of the Karaganda University. Mathematics, 106: 2 (2022), 11p.
[3] H. P. McKean, "Boussinesq’s Equation on the Circle" , Communications on Pure and Applied Mathematics, XXXIV (1981): 599–691
[4] Z. Y. Yan, F.D. Xie, H.Q. Zhang, "Symmetry Reductions, Integrability and Solitary Wave Solutions to Higher-Order Modified Boussinesq Equations with Damping Term" , Communications in Theoretical Physics, 36: 1 (2001): 1–6.
[5] V. F. Baklanovskaya, A. N. Gaipova, :On a two-dimensional problem of nonlinear filtration" , Zh. vychisl. math. i math. phiz., 6: 4 (1966): 237–241 (in Russian).
[6] J. L. Vazquez, The Porous Medium Equation. Mathematical Theory, (Oxford University Press, Oxford (2007).
XXII+625p).
[7] P. Ya. Polubarinova-Kochina, "On a nonlinear differential equation encountered in the theory of infiltration" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, 63: 6 (1948): 623–627.
[8] P.Ya. Polubarinova-Kochina, Theory of Groundwater Movement, (Princeton Univ. Press, Princeton (1962)).
[9] Ya. B. Zel’dovich and A. S. Kompaneets, Towards a theory of heat conduction with thermal conductivity depending on the temperature, (In Collection of Papers Dedicated to 70th Anniversary of A. F. Ioffe. Izd. Akad. Nauk SSSR, Moscow (1950), 61–72).
[10] Ya. B. Zel’dovich and G. I. Barenblatt, "On the dipole-type solution in the problems of a polytropic gas flow in porous medium" , Appl. Math. Mech., 21: 5 (1957): 718–720.
[11] Ya. B. Zel’dovich and G. I. Barenblatt, "The asymptotic properties of self-modelling solutions of the nonstationary gas filtration equations: , Sov. Phys. Doklady, 3 (1958): 44–47.
[12] R. E. Showalter, Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations, (Amer. Math. Soc., Providence (1997). XIII+270=283p).
[13] M. M. Vainberg, Variational Method and Method of Monotone Operators in the Theory of Nonlinear Equations, (Wiley, New York (1973)).
[14] X. Zhong, "Strong solutions to the nonhomogeneous Boussinesq equations for magnetohydrodynamics convection without thermal diffusion" , Electronic Journal of Qualitative Theory Differential Equations, 2020: 24: 1–23.
[15] H. Zhang, Q. Hu, G. Liu, "Global existence, asymptotic stability and blow-up of solutions for the generalized Boussinesq equation with nonlinear boundary condition" , Mathematische Nachrichten, 293: 2 (2020): 386–404.
[16] G. Oruc, G. M. Muslu, "Existence and uniqueness of solutions to initial boundary value problem for the higher order Boussinesq equation" , Nonlinear Analysis – Real World Applications, 47 (2019): 436–445.
[17] W. Ding, Zh.-A. Wang, "Global existence and asymptotic behavier of the Boussinesq-Burgers system" , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 424: 1 (2015): 584–597.
[18] N. Zhu, Zh. Liu, K. Zhao, "On the Boussinesq-Burgers equations driven by dynamic boundary conditions" , Journal of Differential Equations, 264: 3 (2018): 2287–2309.
[19] J. Crank, Free and Moving Boundary Problems, (Oxford University Press, 1984).
[20] J.-L. Lions, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires, (Dunod Gauthier-Villars, Paris (1969)).
[21] Yu.A. Dubinsky, "Weak convergence in nonlinear elliptic and parabolic equations" , Sbornik:Math., 67(109): 4 (1965): 609–642.
[22] P.A. Raviart, "Sur la resolution et l’approximation de certaines equations paraboliques non lineaires degenerees" , Archive Rat. Mech. Anal., 25 (1967): 64–80
