Үшбұрыштағы Буссинеск типтес теңдеуiне қойылған шекаралық есеп
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v115.i3.04Кілттік сөздер:
Буссинеск теңдеуi, азғындалатын облыс, априорлы бағалаулар, Соболев кеңiстiгiАннотация
Осыған дейiн бiз трапециялы облыстағы бiрөлшемдi Буссинеск типтес теңдеуi үшiн қойылған бастапқы-шекаралық есептi қарастырдық. Есептiң соболев кеңiстiктерiндегi бiрмәндi әлсiз шешiмдiлiгi туралы теоремалар монотонды операторлар теориясы әдiсiмен дәлелдендi. Осы мақалада бiз осы бағыттағы зерттеулердi жалғастырып, азғындалатын үшбұрышты облыстағы бiрөлшемдi Буссинеск типтес теңдеуi үшiн қойылған шекаралық есептiң қисынды қойылуын қарастырамыз. Негiзгi операторлардың монотондылығын көрсету кезiнде қолданылған скалярлы көбейтiндi ұсынылып, бiрқалыпты априорлы бағалаулар алынды. Әрi қарай монотонды операторлар теориясы және априорлы бағалаулар көмегiмен есептiң соболев кластарындағы бiрмәндi әлсiз шешiмдiлiгi туралы теоремалар дәлелдендi. Әлсiз шешiмнiң дифференциалдық қасиеттерiн жақсартатын теорема дәлелдендi. Шешiмнiң дифференциалдық қасиеттерiн жақсартатын теореманы дәлелдеу кезiнде бiз банах кеңiстiктерiндегi компактылық туралы классикалық нәтиженiң нормаланған кеңiстiкттiң орнына полунормаланған кеңiстiктегi шенелген жиын бар болу жағдайының Ю.И. Дубинский ("Weak convergence in nonlinear elliptic and parabolic equations Sbornik: Mathematics, 67 (109): 4 (1965)) дәлелдеген жалпылауын пайдаландық. Бұған қоса облыстың азғындалу нүктесiнде шешiмнiң ерекшiгi бар екендiгi көрсетiлген. Осы ерекшелiктiң ретi анықталып, сәйкес теорема дәлелдендi.
Библиографиялық сілтемелер
[2] M.T. Jenaliyev, A.S. Kasymbekova, M.G. Yergaliyev, A.A. Assetov, "An Initial Boundary Value Problem for the
Boussinesq Equation in a Trapezoid" , Bulletin of the Karaganda University. Mathematics, 106: 2 (2022), 11p.
[3] H. P. McKean, "Boussinesq’s Equation on the Circle" , Communications on Pure and Applied Mathematics, XXXIV (1981): 599–691
[4] Z. Y. Yan, F.D. Xie, H.Q. Zhang, "Symmetry Reductions, Integrability and Solitary Wave Solutions to Higher-Order Modified Boussinesq Equations with Damping Term" , Communications in Theoretical Physics, 36: 1 (2001): 1–6.
[5] V. F. Baklanovskaya, A. N. Gaipova, :On a two-dimensional problem of nonlinear filtration" , Zh. vychisl. math. i math. phiz., 6: 4 (1966): 237–241 (in Russian).
[6] J. L. Vazquez, The Porous Medium Equation. Mathematical Theory, (Oxford University Press, Oxford (2007).
XXII+625p).
[7] P. Ya. Polubarinova-Kochina, "On a nonlinear differential equation encountered in the theory of infiltration" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, 63: 6 (1948): 623–627.
[8] P.Ya. Polubarinova-Kochina, Theory of Groundwater Movement, (Princeton Univ. Press, Princeton (1962)).
[9] Ya. B. Zel’dovich and A. S. Kompaneets, Towards a theory of heat conduction with thermal conductivity depending on the temperature, (In Collection of Papers Dedicated to 70th Anniversary of A. F. Ioffe. Izd. Akad. Nauk SSSR, Moscow (1950), 61–72).
[10] Ya. B. Zel’dovich and G. I. Barenblatt, "On the dipole-type solution in the problems of a polytropic gas flow in porous medium" , Appl. Math. Mech., 21: 5 (1957): 718–720.
[11] Ya. B. Zel’dovich and G. I. Barenblatt, "The asymptotic properties of self-modelling solutions of the nonstationary gas filtration equations: , Sov. Phys. Doklady, 3 (1958): 44–47.
[12] R. E. Showalter, Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations, (Amer. Math. Soc., Providence (1997). XIII+270=283p).
[13] M. M. Vainberg, Variational Method and Method of Monotone Operators in the Theory of Nonlinear Equations, (Wiley, New York (1973)).
[14] X. Zhong, "Strong solutions to the nonhomogeneous Boussinesq equations for magnetohydrodynamics convection without thermal diffusion" , Electronic Journal of Qualitative Theory Differential Equations, 2020: 24: 1–23.
[15] H. Zhang, Q. Hu, G. Liu, "Global existence, asymptotic stability and blow-up of solutions for the generalized Boussinesq equation with nonlinear boundary condition" , Mathematische Nachrichten, 293: 2 (2020): 386–404.
[16] G. Oruc, G. M. Muslu, "Existence and uniqueness of solutions to initial boundary value problem for the higher order Boussinesq equation" , Nonlinear Analysis – Real World Applications, 47 (2019): 436–445.
[17] W. Ding, Zh.-A. Wang, "Global existence and asymptotic behavier of the Boussinesq-Burgers system" , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 424: 1 (2015): 584–597.
[18] N. Zhu, Zh. Liu, K. Zhao, "On the Boussinesq-Burgers equations driven by dynamic boundary conditions" , Journal of Differential Equations, 264: 3 (2018): 2287–2309.
[19] J. Crank, Free and Moving Boundary Problems, (Oxford University Press, 1984).
[20] J.-L. Lions, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires, (Dunod Gauthier-Villars, Paris (1969)).
[21] Yu.A. Dubinsky, "Weak convergence in nonlinear elliptic and parabolic equations" , Sbornik:Math., 67(109): 4 (1965): 609–642.
[22] P.A. Raviart, "Sur la resolution et l’approximation de certaines equations paraboliques non lineaires degenerees" , Archive Rat. Mech. Anal., 25 (1967): 64–80
