Об одной обратной задаче с интегральным условием переопределения для уравнения Бюргерса
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2023.v117.i1.03Ключевые слова:
уравнение Бюргерса, обратная задача, априорные оценки, метод ГалеркинаАннотация
В данной работе нами исследуется одна обратная задача для уравнения Бюргерса с интегральным условием переопределения и периодическими граничными условиями в области, представленной трапецией. Используя дополнительное интегральное условие, граничные и начальные условия мы обратную задачу сводим к исследованию уже прямой начально граничной задачи
для нагруженного уравнения Бюргерса. Далее с помощью взаимооднозначного преобразования независимых переменных мы переходим от трапеции к прямоугольной области. И уже в этой области мы исследуем вспомогательную задачу, для которой методами Фаедо-Галеркина, априорных оценок и функционального анализа была доказана
теорема об её однозначной разрешимости в классах Соболева. Отметим, что полученные априорные оценки являются равномерными относительно индекса суммирования приближенного решения и не зависят от времени. Далее на основе данной теоремы, в силу соответствия пространств доказываются теоремы об однозначной разрешимости
исходной обратной задачи. Также мы для выбранных начальных данных в работе приводим графики начально граничной задачи для нагруженного уравнения Бюргерса и искомой функции обратной задачи,
которые вместе составляют решение исходной обратной задачи.
Библиографические ссылки
[2] C. Montoya, "Inverse source problems for the Korteweg-de Vries-Burgers equation with mixed boundary conditions J. Inverse Ill-Posed Probl. 27: 6 (2019), 1–18.
[3] D.J. Korteweg, G. de Vries, "On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves Philos. Mag. 39: 240 (1895), 422–443.
[4] E. Hopf, "The partial differential equation ut + uux + μuxx Commun. Pure Appl. Math. 3: 3 (1950), 201–230.
[5] E. Nane, N.H. Tuan, N.H. Tuan, "A random regularized approximate solution of the inverse problem for Burgers’ equation Stat. Probab. Lett. 132: (2018), 46–54.
[6] G. Berikelashvili, M. Mirianashvili, "On the convergence of difference schemes for the generalized BBM-Burgers equation Georgian Math. J. 26: 3 (2019), 341–349.
[7] G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, New York: John Wiley and Sons, 1975.
[8] H. Li, J. Zhou, "Direct and inverse problem for the parabolic equation with initial value and time-dependent
boundaries Appl. Anal. 95: 6 (2016), 1307–1326.
[9] I. Baglan, F. Kanca, "Two-dimensional inverse quasilinear parabolic problem with periodic boundary condition Appl.Anal. 98: 8 (2019), 1549–1565.
[10] I. Kukavica, "Log-Log convexity and backward uniqueness Proc. Am. Math. Soc. 135: 8 (2007), 2415–2421.
[11] J. Apraiz, A. Doubova, E. Fernandez-Cara, M. Yamamoto, "Some inverse problems for the Burgers equation and related systems Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 107 (2022), 106113.
[12] J. Cyranka, P. Zgliczynski, "Existence of globally attracting solutions for one-dimensional viscous Burgers equation with nonautonomous forcing-A computer assisted proof SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 14: 2 (2015), 787–821.
[13] J.D. Cole, "On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodinamics Q. Appl. Math. 9: 3 (1951), 225–236.
[14] J. Li, B.-Y. Zhang, Z. Zhang, "Well-posedness of the generalized Burgers equation on a finite interval Appl.Anal. 98: 16 (2019), 2802–2826.
[15] J.-L. Lions, E. Magenes, Problemes aux limites non homogenes et applications, vol. 1, Paris: Dunod; 1968.
