Частные решения многомерных обобщенных уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу эллиптико-гиперболического типа
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS202412118Ключевые слова:
многомерное обобщенное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, частные решения, ипергеометрическая функция Лауричелла, формула разложения, порядок особенностиАннотация
Основным результатом настоящей работы является построение частных решений для класса многомерных уравнений в частных производных с несколькими сингулярными коэффициентами второго порядка. Рассматривается обобщенное многомерное уравнение второго порядка Эйлера-Пуассона-Дарбу. С помощью известного метода обобщенное уравнениеЭйлера-Пуассона-Дарбу приводится к дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка гипергеометрического типа. Решениями гипергеометрического уравнения второго порядка являются 2n функций, которые содержат в себе первую гипергеометрическую функцию Лауричелла. Так называемая функция Лауричелла представляет собой
n-мерный ряд, содержащий три разных параметра- многочлены Похгаммера. Для исследования свойств частных решений необходима формула разложения, которая выражала бы
первую функцию Лауричелла в терминах произведения нескольких более простых гипергеометрических функций, содержащих меньшее количество переменных. Изучаются свойства
частных решений, таким образом определяется порядок особенности в начале координат.Доказав особенность частных решений в начале координат, можно утверждать о том, что
построенные частные решения являются фундаментальными решениями обобщенного многомерного уравнения второго порядка Эйлера-Пуассона-Дарбу.
Библиографические ссылки
Barros-Neto J.J., Gelfand I.M., "Fundamental solutions for the Tricomi operator", Duke Math.J. 98 (3) (1999): 465-483.
Barros-Neto J.J., Gelfand I.M., "Fundamental solutions for the Tricomi operator II", Duke Math.J. 111 (3) (2001): 561-584.
Barros-Neto J.J., Gelfand I.M., "Fundamental solutions for the Tricomi operator III", Duke Math.J. 128 (1) (2005): 119-140.
Seilkhanova R.B., Hasanov A., "Particular solutions of generalized Euler-Poisson-Darboux equation", Electronic Journal of Differential Equations Vol. 2015, No. 9 (2015): 1-10.
Ergashev T.G., "Fundamental Solutions for a Class of Multidimensional Elliptic Equations with Several Singular Coefficients", Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics 13 (1) (2020): 48–57.
Lauricella G., "Sulle Funzione Ipergeometriche a piu Variabili", Rend. Circ. Mat. Palermo 7 (1893): 111-158.
Hasanov A., Karimov E.T, "Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with singular coefficients", Applied Mathematics Letters 22 (2009): 1828-1832.
Rassias J.M., Hasanov A., "Fundamental solutions of two degenerated elliptic equations and solutions of boundary value problems in infinite area", Int. J. Appl. Math. and Stat. Vol.8, No. 7 (2007): 87-95.
Weinstein A., "On a singular differential operator", Ann. Mat. Pura Appl. Vol. 49 (1960): 359-365.
Itagaki M., "Higher order three-dimensional fundamental solutions to the Helmholtz and the modified Helmholtz equations", Eng. Anal. Bound. Elem. 15 (1995): 289-293.
Berdyshev A.S., Ryskan A., "The Neumann and Dirichlet problems for one four-dimensional degenerate elliptic equation",
Lobachevskii Journal of Mathematics Vol. 41, No. 6 (2020): 1051–1066.
Berdyshev A.S., Ryskan A.R., "Boundary value problem for the four-dimensional Gellerstedt equation", Bulletin of the Karaganda University. Mathematics series. No. 4 (104) (2021): 35-48.
Karimov E.T., Nieto J.J., "The Dirichlet problem for a 3D elliptic equation with two singular coefficients", Computers and Mathematics with Applications 62 (2011): 214-224.
Ergashev T.G., "The fourth double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation", Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics 50 (2017): 45-56.
Srivastava H.M., Hasanov A., Choi J., "Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation", Sohag J. Math. 2 (1) (2015): 1-10.
Baishemirov Z., Berdyshev A., Ryskan A.A., "Solution of a Boundary Value Problem with Mixed Conditions for a Four Dimensional Degenerate Elliptic Equation", Mathematics 10, 1094 (2022).
Burchnall J.L., Chaundy T.W., "Expansions of Appell’s double hypergeometric functions", The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford, Ser. 11 (1940): 249-270.
Burchnall J.L., Chaundy T.W., "Expansions of Appell’s double hypergeometric functions(II)", The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford, Ser. 12 (1941): 112-128.
Hasanov A., Srivastava H., "Some decomposition formulas associated with the Lauricella function F(r) A andother multiple
hypergeometric functions", Applied Mathematic Letters 19 (2) (2006): 113-121.
Hasanov A., Srivastava H., "Decomposition Formulas Associated with the Lauricella Multivariable Hypergeometric Functions", Computers and Mathematics with Applications 53:7 (2007): 1119-1128.
Hasanov A., Ergashev T.G., "New decomposition formulas associated with the Lauricella multivariable hypergeometric functions", Montes Taurus Journal of Pure and Applied Mathematics 3 (3) (2021): 317-326.
Ryskan A., Ergashev T., "On Some Formulas for the Lauricella Function", Mathematics 11, 4978 (2023).
Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F.G., Higher Transcendental Functions (New York, Toronto and London: McGraw-Hill Book Company, Vol.I, 1953).
Appell P. and Kampe de Feriet J., Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriques; Polynomes d’Hermite (Paris: Gauthier- Villars, 1926).
Sabitov K.B., "Generalization of the Kelvin theorem for solutions of elliptic equations with singular coefficients and
applications", Differential equations 58 (1) (2022): 53-64.
