О начально-граничной задаче для гиперболического уравнения со степенным вырождением t ^12/7

Аннотация

Вырождающиеся уравнения являлись и являются объектом многочисленных исследований. Они имеют не только теоретическую, но и практическую значимость. Укажем лишь на тот факт, что они возникают при моделировании процессов до-звуковых и сверх-звуковых течений в газовой среде, процессов фильтрации и движения подземных вод, в прогнозе климата и т.д. Математически, вырождение дифференциального уравнения может быть различным. В настоящей работе рассматривается вырождающееся уравнение вида ∂_t(t^β∂_tu(x, t))−∆u(x, t) = f(x, t). В ограниченной цилиндрической области, когда степень вырождения β = 12/7, нами установлена однозначная разрешимость задачи Коши-Дирихле для рассматриваемого вырождающегося гиперболического уравнения. На основе решения спектральной задачи для оператора Лапласа с условиями Дирихле вводятся спектральные разложения заданных функций – правой части дифференциального уравнения и искомого решения задачи Коши-Дирихле. Для коэффициентов Фурье мы получаем семейство задач Коши для вырождающегося обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, причем второе начальное условие должно выполняться с весом. Последнее определяется степенью вырождения уравнения. Решения каждой из задач Коши представляется с помощью функций Бесселя. Установлены априорные оценки, на основе которых установлена разрешимость начально-граничной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения.