Интегро-интерполяционный метод построения разностной схемы в задаче с подвижной границей

Аннотация

Работа с системами, которые имеют подвижные границы, может оказаться очень сложной задачей. Нужно не только решить уравнения, описывающие систему, но и найти область, которую система занимает на каждом шаге. Один из распространенных классов задач с движущимися границами, задачи Стефана -- это системы диффузии или теплопроводности, в которых границы между различными фазами в системе меняются с течением времени [1, 2]. К сожалению, поскольку задачи Стефана могут быть настолько сложными, что аналитическое решение системы часто оказывается невозможным. Поэтому часто используются приближенные аналитические методы или численные методы, которые наиболее практичны для работы с такими задачами. Данная работа посвящена численному исследованию нелинейной фильтрации флюида. Гидродинамическое исследование фильтрации неньютоновской жидкости ставит перед необходимостью решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Интегрирование таких уравнений связано с серьезными математическими трудностями, обусловленными подвижными границами, зависимостью физических свойств от координат и времени, спецификой краевых условий. Поэтому в работах, посвященных исследованию нелинейных эффектов фильтрации флюида, применяются приближенные методы (квазистационарное приближение, интегральные соотношения и численные). Среди них простотой и универсальностью отличается метод конечных разностей, который, однако, требует решения громоздкой системы алгебраических уравнений при простате вычислительных алгоритмов. В нашей задаче, чтобы замкнуть математическую систему, требуется еще одно уравнение -- типа условия Стефана. Это закон сохранения баланса импульса движения, который определяет положение движущейся границы раздела. Заметим, что эта движущаяся граница является неизвестной поверхностью. Следовательно, рассматриваемая нами задача является примером задачи со свободной границей [3].