Шекарасы жылжымалы есептің айырымдық схемасын құрудың интегро-интерполяция әдісі
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS202412116Кілттік сөздер:
сызықты емес сұйықтықты фильтрациялау, Ньютондық емес сұйықтық, жылжымалы шекара, тор аймағы, сандық шешiм, шектi айырмдық әдiс, жуықталған аналитикалық шешiмАннотация
Жүйе жылжымалы шекералар бойынша берілсе күрделі есепке жатады. Мұнда жүйені сипаттайтын теңдеуді шешіп қоймай, жүйенің өзгеріс аймағын білу қажет. Осындай көп тараған жылжымалы шекрасымен берілген есептер диффузиялық немесе жылуөткізгіштік процестерде кездесуі Стефан типтес есептерге жатады. Бұндай жүйеде әртүрлі фазалардың шекарасы уақытқа байланысты өзгеріп отырады [1, 2]. Өкінішке орай, Стефан есептері күрделі болғандықтан аналитикалық шешіміндерін анықтау мүмкіндігі қиын. Сондықтан мұндай есептерде жуық аналитикалық шешімі және тәжрибеде ыңғайлы сандық жуық шешімдері қолданылады. Бұл есеп сызықты емес флюидтің филтірленуінің сандық зерттеу жұмысына жатады. Ньютондықемес сұйықтардың фильтірленуінің гидродинамикасын зерттеу сызықтыемес дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешіміне байланысты күрделі болады. Мұндай есептердің интегралын анықтау келесі матаматикалық қиындықтар тудырады: процесті сипаттайтын физикалық шамалардың кеңістік координаттарына және уақытқа байланысты өзгерісі, жылжымалы шекараларымен және шекаралық шарттардың ерекшелігіне байланысты болады. Сондықтан сұйықтардың фильтірленуінің сызықтыемес эффектілігін зерттеуде жуық шығару әдістері (квазисызықты, интегралдық қатынас немесе сандық) қолданылады. Бұлардың ішінде қарапайымдылығымен және жетімділігімен ақырлы-айырымдық әдіс ерекше орын алады. Бірақ есептеу алгоритімінің жеңілдіділгіне қарамастан күрделі алгебралық теңдеулер жүйесін құрып шығару керек. Біздің есепті туйықталған математикалық жүйеге келтіру үшін Стефан шартында кездесетін теңдеу қажет. Бұл жерде сұйықтың қозғалысының шекарасына байланысты қозғалыс мөлшерінің сақталу импульс заңын беретін теңдеу болу керек. Мұндай есеп белгісіз шекараға байланысты жылжымалы бетті береді. Сондықтан еркін жылжыйтын шекараға байланысты шартпен берілген есепке мысал бола алады [3].
Библиографиялық сілтемелер
Stefan J., Uber einige Probleme der Theorie der Warmeleitung, Sitzungsber Wien. Akad. Mat. Natur., 98 (1889): 473–484
Stefan J., Uber die Diffusion von Sauren und Basen qeqen einander, Sitzungsber Wien. Akad. Mat. Natur., 98 (1889):
–634.
Crank J., Free and Moving Boundary Problems,– Oxford: Clarendon Press, 1984, 425 р.
Мирзаджанзаде А.Х., Мирзоян А.А., Гевинян Г.М., Сеид-Рза М.К., Гидравлика глинистых и цементных раство
ров,– M.: Недра, 1966, 231 с.
Плещинский Б.И., Назаровский Г.А., Молокович Ю.М., Исследование фильтрации неньютоновской жидкости в
неоднородной среде, Исследования по подземной гидромеханике, Казань, Издательств Казанского университета, 1
(1976): 194–201. https://www.mathnet.ru/rus/kuipg/v1/p194
Баренблатт Г.И., О некоторых приближенных методах в теории одномерной неустановившейся фильтрации жид
кости при упругом режиме, Известия АН СССР, ОТН, 9 (1954): 35–50.
Каримов А., Численные методы моделирования нелинейных процессов тепло- и массообмена, Алматы, Қазақ
университетi, (2014): 199 с.
Молокович Ю.М., Скворцов Э.В., Приближенные решения одномерных задач фильтрации упругой неньютоновской
жидкости,– M.: ВНИИОНГ, (1970): 139–151.
Корнильцев Ю.А., Молокович Ю.М., Электромоделирование прямолинейно-параллельных задач фильтрации
неньютоновских жидкостей, Ученые записки Казанского государственного университета, 130:1 (1970): 33–44.
https://www.mathnet.ru/rus/uzku/v130/i1/p33
Владимиров Л.А., Решение задачи о движении границы раздела двух жидкостей, Журнал вычислительной мате
матики и математической физики, Т. 6, дополнение к № 4 (1966): 267–271.
Будак Б.М., Васильев Ф.П., Егорова А.Т., Об одном варианте неявной разностной схемы с ловлей фазового фрон
та в узел сетки для решения задач типа Стефана, В сборнике Вычислительные методы и программирование,
Издательство МГУ, 6 (1967): 231–241.
Furzeland R.M., A Comparative Study of Numerical Methods for Moving Boundary Problems, IMA Journal of Applied
Mathematics, 26:4 (1980): 411–429. https://doi.org/10.1093/imamat/26.4.411.
Caldwell J., Kwan Y.Y., Numerical methods for one-dimensional Stefan problems, Communications in Numerical Methods
in Engineering, 20:7 (2004): 535-545. https://doi.org/10.1002/cnm.691.
Whye-Teong Ang, A numerical method based on integro-differential formulation for solving a one
dimensional Stefan problem, Numerical Methods for Partial Differential Equations, 24:3 (2008): 939–949.
https://doi.org/10.1002/num.20298.
Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений,– М.: Наука, 1978, 589 с.
