Об оптимальной дискретизации решения уравнения Пуассона

Аннотация

 В работе изучена задача дискретизации решения уравнения Пуассона с правой частью f принадлежащей многомерному периодическому классу Соболева. Методология исследования основана на рассмотрении задачи дискретизации решения уравнения Пуассона как одной из конкретизации общей задачи оптимального восстановления оператора Tf и в использовании известных утверждений теории приближений. В рамках этой общей задачи оптимального восстановления сначала оценена сверху наименьшая погрешность N дискретизации решения уравнения Пуассона в гильбертовой метрике с помощью оператора дискретизации (l^(N) , N)  построенного по конечному набору коэффициентов Фурье функции f Оценка снизу, совпадающая по порядку с оценкой сверху, наименьшей погрешности N получена в результате привлечения всех линейных функционалов, определенных на многомерном периодическом классе Соболева. Следует отметить, что оптимальный оператор дискретизации (l^(N) , N) лучше приближает в гильбертовой метрике рассматриваемое решение, чем любой оператор дискретизации, построенный по значениям f в заданных точках. Уравнение Пуассона является эллиптическим дифференциальным уравнением в частных производных и описывает многие физические явления такие, как электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления и поле потенциала скорости в гидродинамике. Поэтому актуальность проведенного здесь исследования не вызывает сомнений.