Об оптимальной дискретизации решения уравнения Пуассона

Аннотация

 В работе изучена задача дискретизации решения уравнения Пуассона с правой частью  принадлежащей многомерному периодическому классу Соболева. Методология исследования  основана на  рассмотрении задачи дискретизации решения уравнения Пуассона как одной из конкретизации общей задачи оптимального восстановления оператора  и в использовании известных утверждений теории приближений. В рамках этой общей задачи оптимального восстановления сначала оценена сверху наименьшая  погрешность дискретизации решения уравнения Пуассона в  лебеговой метрике с помощью  оператора дискретизации  построенного по конечному  набору коэффициентов Фурье функции Оценка снизу, совпадающая по порядку с оценкой сверху, наименьшей  погрешности  получена в результате  привлечения всех линейных функционалов, определенных на  многомерном периодическом классе Соболева. Следует отметить, что оптимальный оператор дискретизации  лучше приближает в гильбертовой метрике рассматриваемое решение, чем любой оператор дискретизации, построенный по значениям   в заданных точках. Уравнение Пуассона является эллиптическим дифференциальным уравнением в частных производных и описывает многие физические явления такие, как электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления и поле потенциала скорости в гидродинамике. Поэтому актуальность проведенного здесь исследования  не вызывает сомнений.