Пуассон теңдеуi шешiмiн оптималды дискреттеу туралы
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS2024-122-02-b6Кілттік сөздер:
Пуассон теңдеуі, дискреттеу операторы, оптималды дискреттеу, Фурье коэффициенттері, дискреттеу қателігі, сызықтық функционалдар, Соболев класыАннотация
Жұмыста оң жағындағы f функциясы көпөлшемдi периодты Соболев класына тиесiлi Пуассон теңдеуiнiң шешiмiн дискреттеу есебi зерттелген. Зерттеу әдiснамасы Пуассон теңдеуiнiң шешiмiн дискреттеу есебiн Tf операторын оптималды қалыптастырудың жалпы есебiнiң көп нақтылануларының бiрi ретiнде қарастыруға негiзделген және жуықтаулар теориясының белгiлi тұжырымдарын пайдалануға бағытталған. Осы оптималды қалыптастырудың жалпы есебi аясында алдымен Пуассон теңдеуiнiң шешiмiн f функциясының Фурье коэффициенттерiнiң ақырлы жиынтығы бойынша құрылған (l(N) , N) дискреттеу операторымен гильберттiк метрикада дискреттеуде пайда болатын ең аз N қателiгi жоғарыдан бағаланған. Одан әрi ең аз N қателiгiнiң, ретi бойынша жоғарғы бағамен беттесетiн, төменғi бағасы көпөлшемдi периодты Соболев класында анықталған барлық сызықтық функцияларды қарастыру нәтижесiнде алынған. (l(N) , N) oптималды дискреттеу операторы қарастырылып отырылған шешiмдi гильберттiк метрикада f функциясының берiлген нүктелердегi мәндерi бойынша құрылған кез келген оператордан жақсы жуықтайтынын атап өткен жөн. Пуассон теңдеуi дербес туындылы эллипстiк дифференциалдық теңдеулер қатарына жатады және электростатикалық өрiс, температураның стационарлық өрiсi, қысым өрiсi, сондай– ақ, гидродинамикадағы жылдамдық потенциалының өрiсi сияқты бiраз физикалық құбылыстарды сипаттайды. Сондықтан, осы жұмыста жүргiзiлген зерттеудiң өзектiлiгi ешқандай күмән туғызбайтыны сөзсiз.
Библиографиялық сілтемелер
Korobov N.M., Teoretiko– chislovye metody v priblizhennom analize [Numerical– theoretic methods in approximate
analysis].- M., 1963. [in Russian]
Bailov, E.A., Temirgaliev, N., "Discretization of the Solutions to Poisson’s Equation", Computational Mathematics and Mathematical physics 46, no.9 (2006): 1515– 1525.
Kudaibergenov, S.S., Sabitova, S.G, "Discretization of solutions to Poisson’s equation in the Korobov class", Computational Mathematics and Mathematical physics 53, no.7 (2013): 896– 907.
Sickel, W. and Ullrich, T., "The Smolyak’s algorithm, sampling on sparse grids and function spaces of dominating mixed smoothness", East J. Approx. 73, 193, no. 4 (2007): 287- 425.
Naurizbayev N., Temirgaliyev N., "An exact order of discrepancy of the Smolyak grid and some general conclusionc in the theory of numerical integrations", Found Comput Math 12 (2012): : 139- 172.
Temirgaliev, N., Kudaibergenov, S.S., and Shomanova, A.A., "An application of tensor products of functional in problems of numerical integration", Izv. Math. 73, no.2 (2009): 393- 434.
Utesov, A.B., "On Error Estimates for Discretization Operators for the Solution of the Poisson Equation", Differential Equations 60, no. 1 (2024): 136– 143.
Arystangalikyzy, A., "Discretization of solutions of Poisson equation by inaccurate information", Bulletin of the L.N.Gumilov Eurasian National University. Mathematics. Computer Science. Mechanics Series 144, no.3 (2023): 39– 44.
Bailov E.A., Priblizhennoe integrirovanie i vosstanovlenie funkcij iz anizotropnyh klassov i vosstanovlenie reshenij uravnenija Puassona [Approximate integration and restoration of functions from anisotropic classes and restoration of solutions to the Poisson equation]: diss. ... kand. fiz.- mat. nauk. Almaty. (1998) [In Russian]
Utesov, A.B., Bazarkhanova, A.A., "On Optimal Discretization of Solutions of the Heat Equation and the Limit Error of the Optimum Computing Unit", Differential Equations 57, no.12 (2021): 1726–1735.
Temirgaliev, N., "Teoretiko– chislovye metody i teoretiko– verojatnostnyj podhod k zadacham analiza. Teorija vlozhenij i priblizhenij, absoljutnaja shodimost’ i preobrazovanija rjadov Fur’e [Numerical–theoretical methods and a probability– theoretical approach to the problems of analysis.The theory of embeddings and approximations, absolute convergence and transformations of Fourier series]", Vestnik Evrazijskogo universiteta no.3, (1997): 90– 144. [in Russian].
Utesov, A.B., "Optimal Recovery of Functions from Numerical Information on Them and Limiting Error of the Optimal Computing Unit", Mathematical Notes 11, no.5 (2022): 759– 769.
Azhgaliev, Sh. U., "Discretization of the solutions of the heat equation", Math. Notes 82, no.2 (2007): 153– 158.
Temlyakov V., Multivariate Approximation.- Cambridge University Press, 2018.- 551 p
