Исследование начально-краевой задачи для дробно-дифференциального уравнения с дробной производной переменного порядка

Аннотация

В этой статье исследуется сходимость численного метода для решения начально-краевой задачи дробно-дифференциального уравнения с переменным порядком дробной производной. В обобщенном дробно-дифференциальном уравнении фильтрации с переходным законом фильтрации в гетерогенных пористых средах предполагается, что порядок дробной производной зависит от пространственной переменной. Основное внимание уделено разработке и теоретическому обоснованию метода, обеспечивающего высокую точность и эффективность вычислений при переменном порядке дробной производной. Для численного решения была разработана аппроксимация, сочетающая метод конечных разностей для временной производной и метод конечных элементов для пространственной переменной. Дробная производная переменного порядка в смысле Капуто аппроксимирована формулой второго порядка по времени. Доказана сходимость построенного метода с порядком O(τ²+h^k+1) для случая α(x)ϵ(0,1). Представлены результаты вычислительных экспериментов для различных функций порядка дробной производной, подтверждающие достоверность теоретического анализа. Сделанные выводы подчеркивают важность и актуальность дальнейшего развития численных методов для дробно-дифференциальных уравнений переменного порядка в современной математике и прикладных науках, включая моделирование сложных процессов.