О корректности одного класса сингулярных диффенциальных уравнений четвертого порядка

Аннотация

Исследуется дифференциальное уравнение четвертого порядка с переменными гладкими коэффициентами, заданное на действительной оси. Коэффициенты уравнения могут быть не ограниченными функциями, а потенциал (младший коэффициент) незнакоопределен. Рассматривается случай, когда промежуточный член, содержащий вторую производную искомой функции, как оператор не подчиняется оператору уравнения. Известно, что дифференциаль ные уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами используются в разных задачах математической физики. Простейшее бигармоническое уравнение с младшими членами важно своими приложениями в теории упругости, механике упругих пластин и медленном течении вязких жидкостей. Однако, оно является весьма частным случаем общего уравнения
с переменными коэффициентами. К изучаемому нами уравнению приводят некоторые задачи стохастического анализа, теории колебании, биологии и математических финансов. Помимо этого, сингулярные дифференциальные уравнения четвертого порядка часто используются как регуляризаторы при изучений уравнений более низких порядков, например, уравнений реакций– диффузий. В работе получены достаточные условия разрешимости уравнения и
оценка максимальной регулярности сильного обобщенного решения. Ограничения сформулированы в терминах самих коэффициентов и являются достаточно слабыми. Они не содержат условия на какие-либо производные от коэффициентов и представляют собой отношения между порядками ростов коэффициентов разных порядков на бесконечности. Установленная нами весовая оценка норм решения позволяет дополнительно применить методы теории функциональных пространств к изучению дальнейших свойств решения, например, приближаемость его элементами конечномерных пространств.