Применение теории потенциала к решению смешанной задачи для многомерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом

Аннотация

Теория потенциала играет первостепенную роль как в анализе, так и в решении краевых задач для эллиптических уравнений. В середине прошлого века была построена теория потенциала для двумерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом. При изучении потенциалов существенно и плодотворно используются свойства фундаментальных решений данного уравнения. В настоящее время уже известны фундаментальные решения многомерного эллиптического уравнения с одной линией вырождения. В данной статье мы исследуем потенциалы двойного и простого слоев для такого рода эллиптических уравнений. Результаты теории потенциала позволяют представить решение краевых задач в виде интегральных уравнений. Используя некоторые свойства гипергеометрической функции Гаусса, доказываются предельные теоремы и выводятся интегральные уравнения, касающиеся плотностей потенциалов двойного и простого слоев. Полученные результаты применяются к решению смешанной задачи для многомерного сингулярного эллиптического уравнения в полупространстве