СИММЕТРИЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА БАНАХА-КАНТОРОВИЧА

Аннотация

Пусть $B$ произвольная полная булева алгебра, $Q(B)$ стоуновский компакт, соответствующий булевой алгебре $B$ и $L^{0}(B):=C_{\infty}(Q(B))$ алгебра всех непрерывных функций $x: Q(B) \rightarrow[-\infty,+\infty]$, определенных на $Q(B)$ и принимающих значения $\pm \infty$ лишь на нигде не плотных множествах из $Q(B).$ Рассматриваются векторнозначные меры Магарам $m: B \rightarrow L^{0}(\Omega)$ со значениями в алгебре $L^{0}(\Omega)$ всех классов равных почти всюду действительных измеримых функций на измеримом пространстве $(\Omega, \Sigma, \mu)$ с $\sigma$-конечной мерой. С помощью свойства равноизмеримости элементов из ${{L}^{0}}(B)$, ассоциированного с такой мерой $m$, вводится понятие симметричного пространства Банаха-Канторовича $\left(E, \|\left.\cdot\right|_{E}\right)$ над $L^{0}(\Omega)$, где $E \subset L^{0}(B)$, и ${{\left\| \,\left. \cdot \, \right| \right.}_{E}}-{{L}^{0}}(\Omega )$-значная норма в $E$, наделяющая его структурой пространства Банаха-Канторовича. Приводятся примеры симметричных пространств Банаха-Канторовича, являющихся векторнозначными аналогами классических $L^{p}$-пространств, $1 \leq p \leq \infty$, ассоциированных с числовой $\sigma$-конечной мерой.