ОБ ОПЕРАТОРЕ ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ НА СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ МНОЖЕСТВАХ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ПРОКОЛОТЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ И ОТРЕЗКОВ

Аннотация

В данной статье рассматривается введение локальных координат на окружности $S^{1}$ и анализ различных классов функций, определенных на ней. Доказывается, что каждая гладкая функция на окружности соответствует гладкой $2\pi$ -периодической функции на числовой оси. Вводится оператор Лапласа-Бельтрами на $S^{1}$ с использованием аппарата внешних дифференциальных форм и оператора Ходжа. Вычисляется его явное выражение в локальных координатах, показывается, что он сводится к оператору двухкратного дифференцирония. Далее проводится спектральный анализ оператора Лапласа-Бельтрами, находятся его собственные значения и соответствующие собственные функции, выраженные через полиномы Чебышева первого и второго родов. Выписаны корректно разрешимые задачи для оператора Лапласа-Бельтрами на проколотой окружности. В заключительном параграфе статьи "Об операторе Лапласа-Бельтрами на стратифицированных множествах, составленных из проколотых окружностей и отрезков" выписаны собственные значения и системы собственных функции на одном стратифицированном множестве, составленных из двух проколотых окружностях и конечного интервала.