ОБ УСРЕДНЕНИИ АТТРАКТОРОВ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ В ОБЛАСТИ С ШЕРОХОВАТОЙ ГРАНИЦЕЙ

Аннотация

В данной работе рассматривается задача усреднения в микро неоднородной области с быстро осциллирующей границей.
Предполагается, что в области задана система нелинейных уравнений реакции--диффузии с быстро осциллирующими
членами и диссипацией. На локально периодической осциллирующей части границы выставлено третье краевое условие с
быстро осциллирующими коэффициентами и малым параметром, характеризующим осцилляцию границы, в некоторой степени.
В зависимости от степени малого параметра в краевом условии получены различные усреднённые (предельные) задачи и
доказана сходимость траекторных аттракторов исходной системы к аттракторам усреднённой системы. Аккуратно
исследованы критический, субкритический и суперкритический случаи поведения аттракторов при стремлении малого
параметра к нулю. В статье рассмотрены также задачи в области со случайной быстро осциллирующей границей. При
этом получена усреднённая система уравнений реакции--диффузии с детерминированными коэффициентами в случае
статистически однородной случайной структурой границы. Также доказана теорема о сходимости случайных траекторных
аттракторов исходной системы уравнений реакции--диффузии к детерминированному аттрактору усреднённой (предельной)
системы уравнений реакции--диффузии. В работе также доказана сходимость и глобальных аттракторов в случае
единственности решений, которая в свою очередь доказана для нелинейности в системе уравнений специального вида.